与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。 $\begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 0 \\ 5 & 3 & -5 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \\ -3 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。

$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 0 \\ 5 & 3 & -5 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \\ -3 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

3行目に注目すると、2つの成分が0なので、3行目で余因子展開をすると計算が楽になります。

$\det \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 0 \\ 5 & 3 & -5 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \\ -3 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} = 0 \cdot C_{31} + 2 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 4 \cdot C_{34} = 2 \cdot C_{32} + 4 \cdot C_{34}$

ここで、$C_{ij}$は$(i, j)$成分の余因子です。

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$C_{34} = (-1)^{3+4} M_{34}$

ここで、$M_{ij}$は$(i, j)$成分に関する小行列式です。

$M_{32} = \det \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 5 & -5 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{bmatrix}$

$M_{34} = \det \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 5 & 3 & -5 \\ -3 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

まず、$M_{32}$を計算します。

$M_{32} = 2 \cdot (-5 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - 3 \cdot (5 \cdot 3 - 1 \cdot (-3)) + 0 = 2(-15-2) - 3(15+3) = 2(-17) - 3(18) = -34 - 54 = -88$

次に、$M_{34}$を計算します。

$M_{34} = 2(3 \cdot 2 - (-5) \cdot 0) - 4(5 \cdot 2 - (-5) \cdot (-3)) + 3(5 \cdot 0 - 3 \cdot (-3)) = 2(6) - 4(10 - 15) + 3(0 + 9) = 12 - 4(-5) + 27 = 12 + 20 + 27 = 59$

したがって、

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = (-1) (-88) = 88$

$C_{34} = (-1)^{3+4} M_{34} = (-1) (59) = -59$

求める行列式は、

$2 \cdot C_{32} + 4 \cdot C_{34} = 2(88) + 4(-59) = 176 - 236 = -60$

3. 最終的な答え

-60