一辺の長さが12cmの正方形ABCDがある。辺AB上にAE=EF=FBとなる点E, Fがあり、辺DC上にDG=(1/2)GH=HCとなる点G, Hがある。EHとFGの交点をP、EHとBGの交点をQとする。 (1) 線分EHの長さを求めよ。 (2) 線分PQの長さを求めよ。 (3) 四角形PFBQの面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが12cmの正方形ABCDがある。辺AB上にAE=EF=FBとなる点E, Fがあり、辺DC上にDG=(1/2)GH=HCとなる点G, Hがある。EHとFGの交点をP、EHとBGの交点をQとする。

(1) 線分EHの長さを求めよ。

(2) 線分PQの長さを求めよ。

(3) 四角形PFBQの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) EHの長さを求める。

三平方の定理を用いて、EHの長さを求める。$AE = 12/3 = 4$, $HC = 12/4 = 3$である。

$EH^2 = EC^2 + CH^2 = 12^2 + 3^2 = 144 + 9 = 153$

$EH = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$

(2) PQの長さを求める。

点EからDCに平行な線を引き、BG, FGとの交点をそれぞれI, Jとする。

$\triangle BCG \sim \triangle BEI$, $\triangle FEJ \sim \triangle FCG$

$EI = x$とすると、$BC:EI = CG:EG = 12:x$, $CG = DG+HC = 6+3 = 9$.

$EI = 12 \cdot BE/BC = 12 \cdot 8/12 = 8$.

$FJ = y$とすると、$FC:FJ = CG:FG = 4:y$, $CG=9$

$FJ = 12 \cdot CF/CG = 12 \cdot 4/9 = 16/3$.

$EI$と$FJ$の比を求める。

$EI/FJ = 8 / (16/3) = 3/2$.

EからDHに平行な線を引き、BGとの交点をT、FGとの交点をSとする。

$BT/BG = BE/BA = 2/3$

$DS/DF = DG/DC = 6/12 = 1/2$.

$EH$を$3\sqrt{17}$とする。点HからABに平行な線を引き、BG、FGとの交点をそれぞれK, Lとする。

$AK = HK \cdot (AE/EH) = 4/3\sqrt{17}$, $AL = HL \cdot (AE/EH)$.

EHの方程式: $y = \frac{12-3}{4-12} (x-4) + 12 = -\frac{9}{8}(x-4)+12$

BGの方程式: $y = \frac{12-0}{6-12} (x-12) + 0 = -2(x-12)$

FGの方程式: $y = \frac{12-0}{6-8} (x-8) + 0 = -6(x-8)$

Q: $-\frac{9}{8}(x-4)+12 = -2(x-12)$, $x = 24/7$

P: $-\frac{9}{8}(x-4)+12 = -6(x-8)$, $x = 76/15$

$PQ = |x_Q - x_P| = |24/7 - 76/15| = 101/105$

EHの傾きは9/8だから、

$PQ = (101/105) * \sqrt{(9/8)^2+1} = 101/105 * \sqrt{145/64} = (101/105) * (\sqrt{145}/8) = (101\sqrt{145})/(840)$

(3) 四角形PFBQの面積を求める。

三角形EFBの面積は、(1/2)*4*12=24

四角形PFBQ = 三角形FBQ+三角形FBP。

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{17}$ cm

(2) $\frac{101\sqrt{145}}{840}$ cm

(3) 計算中