四角形ABCDにおいて、AB=10, BC=8, DA=6, ∠BAD=60°, ∠DBC=30° のとき、以下の問題を解く。 (1) BDの長さを求めよ。 (2) 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AB=10, BC=8, DA=6, ∠BAD=60°, ∠DBC=30° のとき、以下の問題を解く。

(1) BDの長さを求めよ。

(2) 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BDの長さを求める。

まず、三角形ABDにおいて余弦定理を用いる。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD}$

$BD^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos{60^\circ}$

$BD^2 = 100 + 36 - 120 \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 136 - 60 = 76$

よって、$BD = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の和である。

三角形ABDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{\angle BAD} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin{60^\circ} = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$

次に、三角形BCDの面積を求める。

三角形BCDにおいて、正弦定理を用いる。$\frac{CD}{\sin{\angle DBC}} = \frac{BD}{\sin{\angle BCD}}$

また、$\angle BDC = \theta$とおくと、$\angle BCD = 180^\circ - 30^\circ - \theta = 150^\circ - \theta$

$\frac{CD}{\sin{30^\circ}} = \frac{2\sqrt{19}}{\sin{(150^\circ - \theta)}}$

$CD = \frac{2\sqrt{19} \cdot \frac{1}{2}}{\sin{(150^\circ - \theta)}} = \frac{\sqrt{19}}{\sin{(150^\circ - \theta)}}$

三角形BCDにおいて、余弦定理を用いる。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD}$

$76 = 8^2 + CD^2 - 2 \cdot 8 \cdot CD \cdot \cos{(150^\circ - \theta)}$

別の方法として、三角形BCDの面積を求める。

$\angle DBC = 30^\circ$、BC=8、BD=$2\sqrt{19}$を用いて、$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin{\angle DBC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{19} \cdot \sin{\angle DBC}= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{19} \cdot \sin{\angle 30^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{19} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{19}$.

四角形ABCDの面積は、三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の和なので、$15\sqrt{3} + 4\sqrt{19}$

3. 最終的な答え

(1) BDの長さ: $2\sqrt{19}$

(2) 四角形ABCDの面積: $15\sqrt{3} + 4\sqrt{19}$