正三角形ABCと正三角形DEFがあり、点Eは辺AB上にある。辺BCと辺EF, 辺ACと辺DEの交点をそれぞれG, Hとする。このとき、$\triangle AEH \sim \triangle BGE$を証明せよ。

1. 問題の内容

正三角形ABCと正三角形DEFがあり、点Eは辺AB上にある。辺BCと辺EF, 辺ACと辺DEの交点をそれぞれG, Hとする。このとき、$\triangle AEH \sim \triangle BGE$を証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$と$\triangle DEF$は正三角形であるから、

$AE = DE$、$\angle BAC = \angle ABC = \angle DEF = 60^\circ$

(2) $\triangle AEH$の内角について考えると、$\angle EAH = 60^\circ$である。$\angle AEH = 180^\circ - \angle EAH - \angle AHE$なので、

$\angle AEH = 180^\circ - 60^\circ - \angle AHE = 120^\circ - \angle AHE$

同様に、$\triangle BGE$の内角について考えると、$\angle EBG = 60^\circ$である。$\angle BEG = 180^\circ - \angle EBG - \angle BGE$なので、

$\angle BEG = 180^\circ - 60^\circ - \angle BGE = 120^\circ - \angle BGE$

(3) ここで、対頂角の関係から$\angle AHE = \angle BGE$である。よって、

$\angle AEH = 120^\circ - \angle AHE = 120^\circ - \angle BGE = \angle BEG$

(4) 以上より、$\triangle AEH$と$\triangle BGE$において、

$\angle EAH = \angle EBG = 60^\circ$

$\angle AEH = \angle BEG$

(5) 2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle AEH \sim \triangle BGE$

3. 最終的な答え

$\triangle AEH \sim \triangle BGE$