$a$ を実数とするとき、「任意の実数 $b$ に対し常に $a^2 \le b^2$ が成り立つ」ことは、$a = 0$ であるための何条件か。

1. 問題の内容

$a$ を実数とするとき、「任意の実数 $b$ に対し常に $a^2 \le b^2$ が成り立つ」ことは、$a = 0$ であるための何条件か。

2. 解き方の手順

まず、命題 $P$: 「任意の実数 $b$ に対し常に $a^2 \le b^2$ が成り立つ」と、命題 $Q$: 「$a = 0$」を考える。

(1) $Q \implies P$ (十分条件の確認):

$a = 0$ のとき、$a^2 = 0$ である。

任意の実数 $b$ に対して、$b^2 \ge 0$ であるから、$a^2 = 0 \le b^2$ は常に成り立つ。

したがって、$a = 0$ ならば、任意の実数 $b$ に対して常に $a^2 \le b^2$ が成り立つ。

よって、$Q \implies P$ は真である。

(2) $P \implies Q$ (必要条件の確認):

任意の実数 $b$ に対して常に $a^2 \le b^2$ が成り立つとき、$a = 0$ であるか考える。

もし、$a \neq 0$ であると仮定すると、$a^2 > 0$ である。

$b = 0$ を考えると、$a^2 \le b^2$ は、$a^2 \le 0$ となる。

これは $a^2 > 0$ に矛盾するので、$a \neq 0$ という仮定は誤りである。

したがって、任意の実数 $b$ に対して常に $a^2 \le b^2$ が成り立つならば、$a = 0$ である。

よって、$P \implies Q$ は真である。

(1) と (2) より、$Q \iff P$ であるから、$P$ は $Q$ であるための必要十分条件である。

3. 最終的な答え

必要十分条件