座標平面上に点Pがあり、原点Oと結んだ線分OPと$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする。点Pの$x$座標が-3で、線分OPの長さが5であるとき、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に点Pがあり、原点Oと結んだ線分OPと$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする。点Pの$x$座標が-3で、線分OPの長さが5であるとき、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 点Pの$y$座標を求める。線分OPの長さは5なので、三平方の定理より、$(-3)^2 + y^2 = 5^2$。これを解くと、$y^2 = 25 - 9 = 16$となる。$y>0$より、$y=4$。

2. $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$の定義を用いる。

* $\sin\theta = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}$

* $\cos\theta = \frac{x}{r} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}$

* $\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta = \frac{4}{5}$

$\cos\theta = -\frac{3}{5}$

$\tan\theta = -\frac{4}{3}$