次の定積分を計算します。 $\int_{-3}^1 (10x^2 - 3x - 4) dx + \int_1^3 (10x^2 - 3x - 4) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{-3}^1 (10x^2 - 3x - 4) dx + \int_1^3 (10x^2 - 3x - 4) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分を一つにまとめます。積分区間が $-3$ から $1$ までと、$1$ から $3$ までなので、$-3$ から $3$ までの積分として計算できます。

$\int_{-3}^1 (10x^2 - 3x - 4) dx + \int_1^3 (10x^2 - 3x - 4) dx = \int_{-3}^3 (10x^2 - 3x - 4) dx$

次に、積分の中身を積分します。

$\int (10x^2 - 3x - 4) dx = \frac{10}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 4x + C$

ここで、積分範囲を考慮して定積分を計算します。

$\int_{-3}^3 (10x^2 - 3x - 4) dx = \left[ \frac{10}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 4x \right]_{-3}^3$

積分範囲の上端を代入します。

$\frac{10}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 - 4(3) = \frac{10}{3}(27) - \frac{3}{2}(9) - 12 = 90 - \frac{27}{2} - 12 = 78 - \frac{27}{2} = \frac{156 - 27}{2} = \frac{129}{2}$

積分範囲の下端を代入します。

$\frac{10}{3}(-3)^3 - \frac{3}{2}(-3)^2 - 4(-3) = \frac{10}{3}(-27) - \frac{3}{2}(9) + 12 = -90 - \frac{27}{2} + 12 = -78 - \frac{27}{2} = \frac{-156 - 27}{2} = -\frac{183}{2}$

上端の値を下端の値を引きます。

$\frac{129}{2} - \left( -\frac{183}{2} \right) = \frac{129}{2} + \frac{183}{2} = \frac{129 + 183}{2} = \frac{312}{2} = 156$

3. 最終的な答え

156