この問題は3つの小問から構成されています。 (1) 2桁の正の整数Aとその十の位と一の位を入れ替えた整数Bについて、$A - B = 63$となるAを全て求める問題です。ただし、Aの一の位は0ではありません。 (2) 大人2人と子供3人が動物園に行った際の入園料の合計が2600円であることと、大人1人の入園料が子供1人の入園料の2倍より100円安いという条件から、大人と子供それぞれの入園料を求める問題です。 (3) 1から32までの自然数を8列に並べた表において、ある特定の形状で3つの数を囲むとき、囲まれた3つの数の和が3の倍数になる理由を、3つの数の中で最も小さい数をnとして説明する問題です。

1. 問題の内容

この問題は3つの小問から構成されています。

(1) 2桁の正の整数Aとその十の位と一の位を入れ替えた整数Bについて、$A - B = 63$となるAを全て求める問題です。ただし、Aの一の位は0ではありません。

(2) 大人2人と子供3人が動物園に行った際の入園料の合計が2600円であることと、大人1人の入園料が子供1人の入園料の2倍より100円安いという条件から、大人と子供それぞれの入園料を求める問題です。

(3) 1から32までの自然数を8列に並べた表において、ある特定の形状で3つの数を囲むとき、囲まれた3つの数の和が3の倍数になる理由を、3つの数の中で最も小さい数をnとして説明する問題です。

2. 解き方の手順

(1)

2桁の正の整数Aを$10x + y$ (x, yは整数、$1 \le x \le 9$, $1 \le y \le 9$)とおくと、Bは$10y + x$と表せる。

$A - B = 63$より、$10x + y - (10y + x) = 63$

$9x - 9y = 63$

$x - y = 7$

$x = y + 7$

$1 \le y \le 9$より、$1 \le y \le 2$

$y = 1$のとき、$x = 8$。よって$A = 81$

$y = 2$のとき、$x = 9$。よって$A = 92$

(2)

大人1人の入園料をx円、子供1人の入園料をy円とおくと、

$2x + 3y = 2600$

$x = 2y - 100$

これを最初の式に代入して、$2(2y - 100) + 3y = 2600$

$4y - 200 + 3y = 2600$

$7y = 2800$

$y = 400$

$x = 2 \times 400 - 100 = 700$

(3)

囲まれた3つの数のうち、最も小さい数をnとすると、他の2つの数は$n+1$と$n+8$と表せる。

この3つの数の和は、$n + (n+1) + (n+8) = 3n + 9 = 3(n+3)$

これは3の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) Aとして考えられる数は81と92。

(2) 大人の入園料は700円、子供の入園料は400円。

(3) 囲まれた3つの数の和は$3(n+3)$となり、これは3の倍数である。