$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ であるときの、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ であるときの、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることと、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

まず、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ なので、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{1}{2}$ となります。

したがって、$\sin \theta = -\frac{1}{2} \cos \theta$ が成り立ちます。

これを $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$$(-\frac{1}{2} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$$

$$\frac{1}{4} \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

$$\frac{5}{4} \cos^2 \theta = 1$$

$$\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$$

$$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

ここで、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲において、$\tan \theta < 0$ となるのは $90^\circ < \theta < 180^\circ$ のときなので、$\cos \theta < 0$ です。

したがって、$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ となります。

次に、$\sin \theta$ を求めます。

$\sin \theta = -\frac{1}{2} \cos \theta$ に $\cos \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ を代入すると、

$$\sin \theta = -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{2\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$