次の3つの等式が成り立つことを証明します。 (1) ${}_nC_0 - \frac{{}_nC_1}{2} + \frac{{}_nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}_nC_n}{2^n} = \frac{1}{2^n}$ (2) $n$ が奇数のとき、${}_nC_0 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_{n-1} = {}_nC_1 + {}_nC_3 + \dots + {}_nC_n = 2^{n-1}$ (3) $n$ が偶数のとき、${}_nC_0 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = {}_nC_1 + {}_nC_3 + \dots + {}_nC_{n-1} = 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の3つの等式が成り立つことを証明します。

(1) ${}_nC_0 - \frac{{}_nC_1}{2} + \frac{{}_nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}_nC_n}{2^n} = \frac{1}{2^n}$

(2) $n$ が奇数のとき、${}_nC_0 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_{n-1} = {}_nC_1 + {}_nC_3 + \dots + {}_nC_n = 2^{n-1}$

(3) $n$ が偶数のとき、${}_nC_0 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = {}_nC_1 + {}_nC_3 + \dots + {}_nC_{n-1} = 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

(1) 二項定理 $(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^k$ を利用します。

$x = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$(1 - \frac{1}{2})^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k (-\frac{1}{2})^k = {}_nC_0 - \frac{{}_nC_1}{2} + \frac{{}_nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}_nC_n}{2^n}$

$(\frac{1}{2})^n = {}_nC_0 - \frac{{}_nC_1}{2} + \frac{{}_nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}_nC_n}{2^n}$

よって、${}_nC_0 - \frac{{}_nC_1}{2} + \frac{{}_nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}_nC_n}{2^n} = \frac{1}{2^n}$ が成り立ちます。

(2) 二項定理 $(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^k$ を利用します。

$x = 1$ を代入すると、

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = 2^n$

$x = -1$ を代入すると、

$(1-1)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k (-1)^k = {}_nC_0 - {}_nC_1 + {}_nC_2 - \dots + (-1)^n {}_nC_n = 0$

上の式と下の式を足すと、

$2({}_nC_0 + {}_nC_2 + {}_nC_4 + \dots) = 2^n$

${}_nC_0 + {}_nC_2 + {}_nC_4 + \dots = 2^{n-1}$

上の式と下の式を引くと、

$2({}_nC_1 + {}_nC_3 + {}_nC_5 + \dots) = 2^n$

${}_nC_1 + {}_nC_3 + {}_nC_5 + \dots = 2^{n-1}$

$n$ が奇数のとき、$n-1$ は偶数なので、${}_nC_0 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_{n-1} = 2^{n-1}$ となり、${}_nC_1 + {}_nC_3 + \dots + {}_nC_n = 2^{n-1}$ となります。

(3) $n$ が偶数のとき、$n$ は偶数なので、${}_nC_0 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_{n} = 2^{n-1}$ となり、${}_nC_1 + {}_nC_3 + \dots + {}_nC_{n-1} = 2^{n-1}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) ${}_nC_0 - \frac{{}_nC_1}{2} + \frac{{}_nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}_nC_n}{2^n} = \frac{1}{2^n}$

(2) $n$ が奇数のとき、${}_nC_0 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_{n-1} = {}_nC_1 + {}_nC_3 + \dots + {}_nC_n = 2^{n-1}$

(3) $n$ が偶数のとき、${}_nC_0 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = {}_nC_1 + {}_nC_3 + \dots + {}_nC_{n-1} = 2^{n-1}$