x, y, z に対して、 $x - 2y + z = 4$ および $2x + y - 3z = -7$ を満たすとき、 $ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ が成立する。このとき、定数 a, b, c の値を求める。

1. 問題の内容

x, y, z に対して、

$x - 2y + z = 4$

および

$2x + y - 3z = -7$

を満たすとき、

$ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$

が成立する。このとき、定数 a, b, c の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x - 2y + z = 4$ と $2x + y - 3z = -7$ から $x$ と $z$ を $y$ で表す。

最初の式から $x = 4 + 2y - z$を得る。

これを二番目の式に代入すると、

$2(4 + 2y - z) + y - 3z = -7$

$8 + 4y - 2z + y - 3z = -7$

$5y - 5z = -15$

$y - z = -3$

$z = y + 3$

これを$x = 4 + 2y - z$ に代入すると

$x = 4 + 2y - (y + 3)$

$x = y + 1$

したがって、$x = y + 1$ かつ $z = y + 3$ である。

これらを $ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ に代入すると、

$a(y+1)^2 + 2by^2 + 3c(y+3)^2 = 18$

$a(y^2 + 2y + 1) + 2by^2 + 3c(y^2 + 6y + 9) = 18$

$(a + 2b + 3c)y^2 + (2a + 18c)y + (a + 27c) = 18$

これが任意の $y$ に対して成立するためには、

$a + 2b + 3c = 0$

$2a + 18c = 0$

$a + 27c = 18$

という連立方程式が成り立つ必要がある。

二番目の式より、$a = -9c$

これを三番目の式に代入すると、

$-9c + 27c = 18$

$18c = 18$

$c = 1$

よって、$a = -9(1) = -9$

$a + 2b + 3c = 0$ に代入すると、

$-9 + 2b + 3(1) = 0$

$2b - 6 = 0$

$2b = 6$

$b = 3$

3. 最終的な答え

a = -9

b = 3

c = 1