52枚のトランプから2枚のカードを取り出したところ、2枚とも赤色のカードであった。このとき、取り出された2枚のカードがともにハートである条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

52枚のトランプから2枚のカードを取り出したところ、2枚とも赤色のカードであった。このとき、取り出された2枚のカードがともにハートである条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、事象を定義する。

* $A$: 2枚ともハートである事象

* $B$: 2枚とも赤色のカードである事象

求めるものは、$P(A|B)$である。

条件付き確率の定義より、

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

ここで、$A \cap B$は「2枚ともハートである」かつ「2枚とも赤色のカードである」という事象を表す。これはつまり「2枚ともハートである」という事象Aと同じである。したがって、$P(A \cap B) = P(A)$である。

したがって、$P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$となる。

* $P(A)$を求める。

52枚のカードのうち、ハートは13枚である。

2枚ともハートである確率は、

$P(A) = \frac{{13 \choose 2}}{{52 \choose 2}} = \frac{\frac{13 \times 12}{2}}{\frac{52 \times 51}{2}} = \frac{13 \times 12}{52 \times 51} = \frac{156}{2652} = \frac{1}{17}$

* $P(B)$を求める。

52枚のカードのうち、赤色のカードは26枚である。

2枚とも赤色のカードである確率は、

$P(B) = \frac{{26 \choose 2}}{{52 \choose 2}} = \frac{\frac{26 \times 25}{2}}{\frac{52 \times 51}{2}} = \frac{26 \times 25}{52 \times 51} = \frac{650}{2652} = \frac{25}{102}$

* $P(A|B)$を求める。

$P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{17}}{\frac{25}{102}} = \frac{1}{17} \times \frac{102}{25} = \frac{102}{17 \times 25} = \frac{6}{25}$

3. 最終的な答え

$\frac{6}{25}$