袋Sと袋Tがあり、それぞれにくじが入っています。袋Sにはくじが10本、当たりくじが3本入っています。袋Tにはくじが6本、当たりくじが2本入っています。S, Tの袋を選ぶ確率はそれぞれ$1/2$です。1つの袋を選び、そこから1本のくじを引いたところ、当たりくじが出ました。このとき、選んだ袋がSであった条件付き確率を求める問題です。

1. 問題の内容

袋Sと袋Tがあり、それぞれにくじが入っています。袋Sにはくじが10本、当たりくじが3本入っています。袋Tにはくじが6本、当たりくじが2本入っています。S, Tの袋を選ぶ確率はそれぞれ$1/2$です。1つの袋を選び、そこから1本のくじを引いたところ、当たりくじが出ました。このとき、選んだ袋がSであった条件付き確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、事象を定義します。

* 事象A：袋Sを選ぶ

* 事象B：袋Tを選ぶ

* 事象C：当たりくじを引く

求めるべき確率は、$P(A|C)$です。これは、当たりくじを引いたという条件の下で、袋Sを選んだ確率です。条件付き確率の定義より、

$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$

ここで、$P(A)$、$P(B)$はそれぞれ$1/2$です。

$P(C)$は、当たりくじを引く確率です。これは、袋Sを選んで当たりくじを引く確率と、袋Tを選んで当たりくじを引く確率の和で計算できます。

$P(C) = P(A)P(C|A) + P(B)P(C|B)$

$P(C|A)$は袋Sを選んだときに当たりくじを引く確率で、$\frac{3}{10}$です。

$P(C|B)$は袋Tを選んだときに当たりくじを引く確率で、$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。

したがって、$P(C)$は

$P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{20} + \frac{1}{6} = \frac{9 + 10}{60} = \frac{19}{60}$

次に、$P(A \cap C)$を計算します。これは、袋Sを選び、かつ当たりくじを引く確率なので、

$P(A \cap C) = P(A)P(C|A) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{20}$

以上より、$P(A|C)$は

$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{19}{60}} = \frac{3}{20} \times \frac{60}{19} = \frac{3 \times 3}{19} = \frac{9}{19}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{19}$