1枚の硬貨を5回投げたとき、表が3回出たという条件の下で、3回目に表が出ている条件付き確率を求めよ。

1. 問題の内容

1枚の硬貨を5回投げたとき、表が3回出たという条件の下で、3回目に表が出ている条件付き確率を求めよ。

2. 解き方の手順

事象A: 5回中3回表が出る。

事象B: 3回目に表が出る。

求めるのは条件付き確率 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$である。

まず、$P(A)$を計算する。5回中3回表が出る確率は、二項分布に従う。

$P(A) = {}_5C_3 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{5!}{3!2!} \times (\frac{1}{2})^5 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

次に、$P(A \cap B)$を計算する。これは、3回目に表が出て、かつ5回中合計3回表が出る確率である。

3回目に表が出ているので、残りの4回のうち2回表が出ればよい。

$P(A \cap B) = {}_4C_2 \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2}) = \frac{4!}{2!2!} \times (\frac{1}{2})^5 = 6 \times \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$

したがって、条件付き確率は

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{3}{16}}{\frac{5}{16}} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$