袋Sには赤球1個と白球9個が入っており、袋Tには赤球2個と白球8個が入っている。硬貨を投げて、表が出たら袋Sから、裏が出たら袋Tから球を1個取り出す。赤球が取り出されたとき、投げた硬貨が裏であった条件付き確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋Sには赤球1個と白球9個が入っており、袋Tには赤球2個と白球8個が入っている。硬貨を投げて、表が出たら袋Sから、裏が出たら袋Tから球を1個取り出す。赤球が取り出されたとき、投げた硬貨が裏であった条件付き確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は条件付き確率の問題なので、ベイズの定理を利用して解きます。

まず事象を以下のように定義します。

* 事象A: 赤球を取り出す

* 事象B: 硬貨の裏が出る

求めたいのは、$P(B|A)$です。ベイズの定理より

$P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$

それぞれの確率を計算します。

* $P(B)$: 硬貨の裏が出る確率。これは $1/2$ です。

* $P(A|B)$: 硬貨の裏が出たときに赤球を取り出す確率。これは袋Tから赤球を取り出す確率なので、$2/10 = 1/5$ です。

* $P(A)$: 赤球を取り出す確率。これは、硬貨が表が出て袋Sから赤球を取り出す確率と、硬貨が裏が出て袋Tから赤球を取り出す確率の和です。

* 硬貨が表が出て袋Sから赤球を取り出す確率は、$(1/2) \times (1/10) = 1/20$

* 硬貨が裏が出て袋Tから赤球を取り出す確率は、$(1/2) \times (2/10) = 1/10$

したがって、$P(A) = 1/20 + 1/10 = 3/20$

これらの確率をベイズの定理の式に代入します。

$P(B|A) = \frac{(1/5) \times (1/2)}{3/20} = \frac{1/10}{3/20} = \frac{1}{10} \times \frac{20}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

求める条件付き確率は $2/3$ です。