次の定積分の値を求めます。 $\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{2}^{-2} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めます。

$\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{2}^{-2} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用します。

$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$

また、$\int_{a}^{a} f(x) dx = 0$です。

したがって、

$\int_{2}^{-2} (5x^2 + 3x + 2) dx = 0$

与えられた式は次のようになります。

$\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx$

$= \int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx$

次に、不定積分を求めます。

$\int (5x^2 + 3x + 2) dx = \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C$

したがって、定積分は

$\int_{-2}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx = [\frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x]_{-2}^{2}$

$= (\frac{5}{3}(2)^3 + \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2)) - (\frac{5}{3}(-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^2 + 2(-2))$

$= (\frac{5}{3}(8) + \frac{3}{2}(4) + 4) - (\frac{5}{3}(-8) + \frac{3}{2}(4) - 4)$

$= (\frac{40}{3} + 6 + 4) - (-\frac{40}{3} + 6 - 4)$

$= \frac{40}{3} + 10 + \frac{40}{3} - 2$

$= \frac{80}{3} + 8$

$= \frac{80}{3} + \frac{24}{3}$

$= \frac{104}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{104}{3}$