2つの2変数関数 $f(x, y)$ の極値を求める問題です。 (1) $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1)$ (2) $f(x, y) = \frac{x^2y^2}{(x-1)(y-1)}$

1. 問題の内容

2つの2変数関数 $f(x, y)$ の極値を求める問題です。

(1) $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1)$

(2) $f(x, y) = \frac{x^2y^2}{(x-1)(y-1)}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1) = x^3y + xy^3 - xy$ の場合：

- まず、偏微分を計算します。

$f_x = 3x^2y + y^3 - y$

$f_y = x^3 + 3xy^2 - x$

- 次に、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる $(x, y)$ を求めます。

$f_x = y(3x^2 + y^2 - 1) = 0$

$f_y = x(x^2 + 3y^2 - 1) = 0$

- $y = 0$ の場合、$x(x^2 - 1) = 0$ より、$x = 0, 1, -1$。

- $x = 0$ の場合、$y(y^2 - 1) = 0$ より、$y = 0, 1, -1$。

- $3x^2 + y^2 - 1 = 0$ かつ $x^2 + 3y^2 - 1 = 0$ の場合、連立方程式を解きます。

$3x^2 + y^2 = 1$

$x^2 + 3y^2 = 1$

これを解くと、$x^2 = y^2 = \frac{1}{4}$ より、$x = \pm \frac{1}{2}$, $y = \pm \frac{1}{2}$。

- よって、候補点は $(0, 0), (1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

- ヘッセ行列を計算します。

$f_{xx} = 6xy$

$f_{yy} = 6xy$

$f_{xy} = 3x^2 + 3y^2 - 1$

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 36x^2y^2 - (3x^2 + 3y^2 - 1)^2$

- 各候補点について、$D$ の符号を調べます。

- $(0, 0)$ のとき、$D = -1 < 0$ なので、極値ではない。

- $(\pm 1, 0), (0, \pm 1)$ のとき、$D = - (3 - 1)^2 = -4 < 0$ なので、極値ではない。

- $(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ のとき、$D = 36 \cdot \frac{1}{16} - (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1)^2 = \frac{9}{4} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2 > 0$。

$f_{xx} = 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} > 0$ または $f_{xx} = 6 \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{3}{2} < 0$。

よって、$f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$ で極小、$f(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$ で極小、$f(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$ で極大、$f(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$ で極大。

(2) $f(x, y) = \frac{x^2y^2}{(x-1)(y-1)}$ の場合：

- まず、偏微分を計算します。

$f_x = \frac{2xy^2(x-1) - x^2y^2}{(x-1)^2(y-1)} = \frac{x y^2 (2(x-1) - x)}{(x-1)^2 (y-1)} = \frac{xy^2(x-2)}{(x-1)^2(y-1)}$

$f_y = \frac{x^2y(y-2)}{(x-1)(y-1)^2}$

- 次に、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる $(x, y)$ を求めます。

$f_x = 0 \Rightarrow x y^2 (x-2) = 0$

$f_y = 0 \Rightarrow x^2 y (y-2) = 0$

ただし、$x \ne 1$ かつ $y \ne 1$。

- $x = 0$ または $y = 0$ のとき、$f(x,y) = 0$。しかし$x \ne 1, y \ne 1$ より、どちらも $0$ にはならない。

- $x=2$ かつ $y=2$ を得る。

$f_{xx} = \frac{y^2 (x^2 - 4x + 2)}{(x-1)^3 (y-1)}$

$f_{yy} = \frac{x^2 (y^2 - 4y + 2)}{(x-1) (y-1)^3}$

$f_{xy} = \frac{x y (x y - 2x - 2y + 4)}{(x-1)^2 (y-1)^2}$

- $(2, 2)$ のとき、$f_{xx} = \frac{4 (4 - 8 + 2)}{1 \cdot 1} = -8$

$f_{yy} = \frac{4 (4 - 8 + 2)}{1 \cdot 1} = -8$

$f_{xy} = \frac{4 (4 - 4 - 4 + 4)}{1 \cdot 1} = 0$

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (-8)(-8) - 0 = 64 > 0$

$f_{xx} = -8 < 0$ なので、$(2, 2)$ で極大値 $f(2, 2) = \frac{16}{1 \cdot 1} = 16$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $f(x, y) = xy(x^2 + y^2 - 1)$ の場合：

- $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = f(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$ で極小

- $f(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) = f(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$ で極大

(2) $f(x, y) = \frac{x^2y^2}{(x-1)(y-1)}$ の場合：

- $f(2, 2) = 16$ で極大