$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \theta + \frac{\pi}{6}$ とおく。$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$t$ の範囲は $\frac{\pi}{6} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ となる。

次に、$\sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $t$ の範囲を求める。$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $t$ の値は $t = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ である。

したがって、$\sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $t$ の範囲は、$\frac{\pi}{6} \le t \le \frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ である。

$t = \theta + \frac{\pi}{6}$ を代入して、$\theta$ の範囲を求める。

$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3}$ より、

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

$\frac{2\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ より、

$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \le \theta < 2\pi + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$

$\frac{4\pi - \pi}{6} \le \theta < 2\pi$

$\frac{3\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

$\frac{\pi}{2} \le \theta < 2\pi$

したがって、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{2} \le \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2} \le \theta < 2\pi$