問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$ を計算することです。与えられた答えは $e$ であることを確認します。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$ を計算することです。与えられた答えは $e$ であることを確認します。

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義そのものです。

$x$ が無限大に近づくとき、$1/x$ は0に近づきます。したがって、$1 + 1/x$ は1に近づきます。しかし、$x$ は無限大に近づくので、$(1 + 1/x)^x$ は不定形 $1^{\infty}$ になります。

この極限の計算には、いくつかの方法があります。ここでは、自然対数を用いる方法を示します。

$y = (1 + \frac{1}{x})^x$ とおきます。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (1 + \frac{1}{x})^x = x \ln (1 + \frac{1}{x})$

となります。

ここで、$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} x \ln (1 + \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

となります。

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いることができます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

したがって、$\lim_{x \to \infty} \ln y = 1$

よって、$\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e$

したがって、$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ となります。

3. 最終的な答え

$e$