与えられた定積分の値を求めます。具体的には、以下の式を計算します。 $\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{2}^{1} (5x^2 + 3x + 2) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。具体的には、以下の式を計算します。

$\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx + \int_{2}^{1} (5x^2 + 3x + 2) dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (5x^2 + 3x + 2) dx = \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C$

次に、各定積分を計算します。

$\int_{-2}^{-1} (5x^2 + 3x + 2) dx = [\frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x]_{-2}^{-1} = (\frac{5}{3}(-1)^3 + \frac{3}{2}(-1)^2 + 2(-1)) - (\frac{5}{3}(-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^2 + 2(-2)) = (-\frac{5}{3} + \frac{3}{2} - 2) - (-\frac{40}{3} + 6 - 4) = -\frac{5}{3} + \frac{3}{2} - 2 + \frac{40}{3} - 6 + 4 = \frac{35}{3} + \frac{3}{2} - 4 = \frac{70 + 9 - 24}{6} = \frac{55}{6}$

$\int_{-1}^{2} (5x^2 + 3x + 2) dx = [\frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x]_{-1}^{2} = (\frac{5}{3}(2)^3 + \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2)) - (\frac{5}{3}(-1)^3 + \frac{3}{2}(-1)^2 + 2(-1)) = (\frac{40}{3} + 6 + 4) - (-\frac{5}{3} + \frac{3}{2} - 2) = \frac{40}{3} + 10 + \frac{5}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{45}{3} + 12 - \frac{3}{2} = 15 + 12 - \frac{3}{2} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54 - 3}{2} = \frac{51}{2}$

$\int_{2}^{1} (5x^2 + 3x + 2) dx = [\frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x]_{2}^{1} = (\frac{5}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1)) - (\frac{5}{3}(2)^3 + \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2)) = (\frac{5}{3} + \frac{3}{2} + 2) - (\frac{40}{3} + 6 + 4) = \frac{5}{3} + \frac{3}{2} + 2 - \frac{40}{3} - 10 = -\frac{35}{3} + \frac{3}{2} - 8 = \frac{-70 + 9 - 48}{6} = \frac{-109}{6}$

最後に、これらの値を足し合わせます。

$\frac{55}{6} + \frac{51}{2} - \frac{109}{6} = \frac{55 + 153 - 109}{6} = \frac{99}{6} = \frac{33}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{33}{2}$