次の定積分を求めなさい。 $\int_{-1}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx + \int_{-4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めなさい。

$\int_{-1}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx + \int_{-4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx$

2. 解き方の手順

定積分の性質を利用して、積分範囲をまとめます。

$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$

したがって、

$\int_{-1}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx + \int_{-4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx = \int_{-4}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx$

次に、積分を計算します。

$\int_{-4}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx = [\frac{7}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 9x]_{-4}^{4}$

$= (\frac{7}{3}(4)^3 - \frac{5}{2}(4)^2 - 9(4)) - (\frac{7}{3}(-4)^3 - \frac{5}{2}(-4)^2 - 9(-4))$

$= (\frac{7}{3}(64) - \frac{5}{2}(16) - 36) - (\frac{7}{3}(-64) - \frac{5}{2}(16) + 36)$

$= (\frac{448}{3} - 40 - 36) - (-\frac{448}{3} - 40 + 36)$

$= \frac{448}{3} - 76 + \frac{448}{3} + 4$

$= \frac{896}{3} - 72$

$= \frac{896 - 216}{3}$

$= \frac{680}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{680}{3}$