与えられた2つの2変数関数について、極値とその極値をとる点(x,y)の組をすべて求め、極大値か極小値かを明らかにします。 (i) $f(x, y) = x^3 + y^3 + 3xy$ (ii) $f(x, y) = xy + \frac{1}{2x} + \frac{2}{y}$

1. 問題の内容

与えられた2つの2変数関数について、極値とその極値をとる点(x,y)の組をすべて求め、極大値か極小値かを明らかにします。

(i) $f(x, y) = x^3 + y^3 + 3xy$

(ii) $f(x, y) = xy + \frac{1}{2x} + \frac{2}{y}$

2. 解き方の手順

(i) $f(x, y) = x^3 + y^3 + 3xy$ の場合：

1. 偏微分を計算します。

$f_x = 3x^2 + 3y$

$f_y = 3y^2 + 3x$

2. 連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解きます。

$3x^2 + 3y = 0 \Rightarrow y = -x^2$

$3y^2 + 3x = 0 \Rightarrow y^2 + x = 0$

$(-x^2)^2 + x = 0 \Rightarrow x^4 + x = 0 \Rightarrow x(x^3 + 1) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x = -1$

$x = 0$ のとき $y = -0^2 = 0$

$x = -1$ のとき $y = -(-1)^2 = -1$

停留点は $(0, 0)$ と $(-1, -1)$

3. ヘッセ行列式を計算します。

$f_{xx} = 6x$

$f_{yy} = 6y$

$f_{xy} = 3$

$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (6x)(6y) - 3^2 = 36xy - 9$

4. 停留点におけるヘッセ行列式を評価します。

$(0, 0)$ のとき $D = 36(0)(0) - 9 = -9 < 0$ なので、$(0, 0)$ は鞍点です。

$(-1, -1)$ のとき $D = 36(-1)(-1) - 9 = 36 - 9 = 27 > 0$

また $f_{xx}(-1, -1) = 6(-1) = -6 < 0$ なので、 $(-1, -1)$ は極大値を取る点です。

5. 極値を計算します。

$f(-1, -1) = (-1)^3 + (-1)^3 + 3(-1)(-1) = -1 - 1 + 3 = 1$

(ii) $f(x, y) = xy + \frac{1}{2x} + \frac{2}{y}$ の場合：

1. 偏微分を計算します。

$f_x = y - \frac{1}{2x^2}$

$f_y = x - \frac{2}{y^2}$

2. 連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解きます。

$y - \frac{1}{2x^2} = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2x^2}$

$x - \frac{2}{y^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{y^2}$

$x = \frac{2}{(\frac{1}{2x^2})^2} = \frac{2}{\frac{1}{4x^4}} = 8x^4$

$x - 8x^4 = 0 \Rightarrow x(1 - 8x^3) = 0$

$x = 0$ は定義域外なので $1 - 8x^3 = 0$

$x^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2(\frac{1}{4})} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

停留点は $(\frac{1}{2}, 2)$

3. ヘッセ行列式を計算します。

$f_{xx} = \frac{1}{x^3}$

$f_{yy} = \frac{4}{y^3}$

$f_{xy} = 1$

$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (\frac{1}{x^3})(\frac{4}{y^3}) - 1^2 = \frac{4}{x^3 y^3} - 1$

4. 停留点におけるヘッセ行列式を評価します。

$(\frac{1}{2}, 2)$ のとき $D = \frac{4}{(\frac{1}{2})^3 (2)^3} - 1 = \frac{4}{(\frac{1}{8})(8)} - 1 = \frac{4}{1} - 1 = 3 > 0$

また $f_{xx}(\frac{1}{2}, 2) = \frac{1}{(\frac{1}{2})^3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8 > 0$ なので、 $(\frac{1}{2}, 2)$ は極小値を取る点です。

5. 極値を計算します。

$f(\frac{1}{2}, 2) = (\frac{1}{2})(2) + \frac{1}{2(\frac{1}{2})} + \frac{2}{2} = 1 + 1 + 1 = 3$

3. 最終的な答え

(i) $f(x, y) = x^3 + y^3 + 3xy$:

* 鞍点: $(0, 0)$

* 極大値: $f(-1, -1) = 1$

(ii) $f(x, y) = xy + \frac{1}{2x} + \frac{2}{y}$:

* 極小値: $f(\frac{1}{2}, 2) = 3$