次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{4} (6x^2 - 7) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{4} (6x^2 - 7) dx$

2. 解き方の手順

まず、2つ目の積分に注目します。積分区間が $[4, 4]$ なので、この積分の値は0です。

$\int_{4}^{4} (6x^2 - 7) dx = 0$

次に、1つ目の定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx$

不定積分を計算します。

$\int (6x^2 - 7) dx = 6 \int x^2 dx - 7 \int dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 7x + C = 2x^3 - 7x + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx = [2x^3 - 7x]_{1}^{4} = (2(4^3) - 7(4)) - (2(1^3) - 7(1)) = (2(64) - 28) - (2 - 7) = (128 - 28) - (-5) = 100 + 5 = 105$

したがって、

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{4} (6x^2 - 7) dx = 105 + 0 = 105$

3. 最終的な答え

105