次の定積分を計算する問題です。 $\int_{-1}^{2}(12x^2 + 7)dx + \int_{2}^{5}(12x^2 + 7)dx - \int_{5}^{3}(12x^2 + 7)dx - \int_{3}^{5}(12x^2 + 7)dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算する問題です。

$\int_{-1}^{2}(12x^2 + 7)dx + \int_{2}^{5}(12x^2 + 7)dx - \int_{5}^{3}(12x^2 + 7)dx - \int_{3}^{5}(12x^2 + 7)dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を使って、積分区間を調整します。

$\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx$

を利用すると、

$-\int_{5}^{3}(12x^2 + 7)dx = \int_{3}^{5}(12x^2 + 7)dx$

となります。

よって、

$\int_{-1}^{2}(12x^2 + 7)dx + \int_{2}^{5}(12x^2 + 7)dx - \int_{5}^{3}(12x^2 + 7)dx - \int_{3}^{5}(12x^2 + 7)dx$

$= \int_{-1}^{2}(12x^2 + 7)dx + \int_{2}^{5}(12x^2 + 7)dx + \int_{3}^{5}(12x^2 + 7)dx - \int_{3}^{5}(12x^2 + 7)dx$

$= \int_{-1}^{2}(12x^2 + 7)dx + \int_{2}^{5}(12x^2 + 7)dx$

さらに、$\int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx$

を利用すると、

$\int_{-1}^{2}(12x^2 + 7)dx + \int_{2}^{5}(12x^2 + 7)dx = \int_{-1}^{5}(12x^2 + 7)dx$

したがって、

$\int_{-1}^{5}(12x^2 + 7)dx$ を計算します。

$\int(12x^2 + 7)dx = 12\int x^2 dx + 7\int dx = 12\frac{x^3}{3} + 7x + C = 4x^3 + 7x + C$

$\int_{-1}^{5}(12x^2 + 7)dx = [4x^3 + 7x]_{-1}^{5} = (4(5^3) + 7(5)) - (4(-1)^3 + 7(-1)) = (4(125) + 35) - (4(-1) - 7) = (500 + 35) - (-4 - 7) = 535 - (-11) = 535 + 11 = 546$

3. 最終的な答え

546