次の定積分を計算してください。 $\int_{1}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx - \int_{4}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{1}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx - \int_{4}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、2つ目の積分を積分区間を入れ替えて符号を反転させます。

$\int_{4}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx = - \int_{2}^{4} (6x^2 - 10x + 9) \, dx$

したがって、問題の式は

$\int_{1}^{2} (6x^2 - 10x + 9) \, dx + \int_{2}^{4} (6x^2 - 10x + 9) \, dx$

積分区間が繋がっているので、積分をまとめます。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 10x + 9) \, dx$

次に、積分を実行します。

$\int (6x^2 - 10x + 9) \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 10 \cdot \frac{x^2}{2} + 9x + C = 2x^3 - 5x^2 + 9x + C$

したがって、定積分は

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 10x + 9) \, dx = [2x^3 - 5x^2 + 9x]_{1}^{4}$

$= (2 \cdot 4^3 - 5 \cdot 4^2 + 9 \cdot 4) - (2 \cdot 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1)$

$= (2 \cdot 64 - 5 \cdot 16 + 36) - (2 - 5 + 9)$

$= (128 - 80 + 36) - (6)$

$= (48 + 36) - 6$

$= 84 - 6$

$= 78$

3. 最終的な答え

78