問題は、集合 $A, B, C$ が与えられたときに、条件を満たす定数 $a, b$ の値を求める問題です。各小問で、集合 $A, B, C$ の定義式における係数 $a, b$ の値を、与えられた集合演算の結果から決定します。

1. 問題の内容

問題は、集合 $A, B, C$ が与えられたときに、条件を満たす定数 $a, b$ の値を求める問題です。各小問で、集合 $A, B, C$ の定義式における係数 $a, b$ の値を、与えられた集合演算の結果から決定します。

2. 解き方の手順

(1) $A = \{x \mid x^2 + ax + b \le 0\}$ であり、$A = \{x \mid -5 \le x \le 1\}$ であることから、$x^2 + ax + b = (x+5)(x-1) = x^2 + 4x - 5$ となるはずです。したがって、$a=4$ であり、$b=-5$ です。選択肢から、14 は 4(④)、15 は 5(⑤)です。

(2) $B = \{x \mid x^2 + 2x - 3 \le 0\} = \{x \mid (x+3)(x-1) \le 0\} = \{x \mid -3 \le x \le 1\}$

$C = \{x \mid x^2 - x - 6 \le 0\} = \{x \mid (x-3)(x+2) \le 0\} = \{x \mid -2 \le x \le 3\}$

$B \cap C = \{x \mid -2 \le x \le 1\}$. 選択肢から、16 は 2(②)、17 は 1(①)です。

(3) $\overline{B} = \{x \mid x < -3 \text{ or } x > 1\}$

$\overline{B} \cap C = \{x \mid -2 \le x \le 3 \text{ and } (x < -3 \text{ or } x > 1) \} = \{x \mid 1 < x \le 3\}$

選択肢から、18 は 1(①)、19 は 3(③)です。

(4) $A \cap B = \{x \mid -2 \le x \le 1\}$ かつ $A \cup B = \{x \mid -3 \le x \le 2\}$

$B = \{x \mid -3 \le x \le 1\}$ であり、$A \cap B$ と $A \cup B$ の条件から、$A = \{x \mid -2 \le x \le 2\}$ です。よって、$A = \{x \mid (x+2)(x-2) \le 0 \} = \{x \mid x^2 - 4 \le 0 \}$ より、$a=0, b=-4$ です。選択肢から、20 は 0(⑩)、21 は 4(④)です。

(5) $A \cap B = \{x \mid -4 \le x < -3\}$ かつ $\overline{A \cup B} = \{x \mid x < -3 \text{ or } -1 < x\}$

$\overline{A \cup B}$ から、$A \cup B = \{x \mid -3 \le x \le -1\}$ です。

$B = \{x \mid -3 \le x \le 1\}$ より、$A \cap B = \{x \mid -4 \le x < -3\}$ と $A \cup B = \{x \mid -3 \le x \le -1\}$ を満たすためには、$A=\{x \mid x=-4\}$ となることはありえません。条件を満たす集合 $A$ は存在しないと考えられます。ただし、問題文には条件を満たす a, b が存在すると書いてあるので、何か誤りがある可能性があります。この問題に関しては、解答が難しいです。

$B = \{x \mid x^2 + 2x - 3 \le 0 \} = \{x \mid (x+3)(x-1) \le 0\} = \{x \mid -3 \le x \le 1\}$

$A \cap B = \{x \mid -4 \le x < -3 \}$ と $B = \{x \mid -3 \le x \le 1\}$ から $A$ は $-4$ 付近に存在します。

$A \cup B = \{x \mid -3 \le x \le -1\}$ から、$A$ は $-1$ 付近に存在することになります。この両方の条件を満たす$A$ は存在しないように思われます。

問題文に誤りがある可能性が高いですが、一応、選択肢から最も近いものを選択すると、22と23は7か8あたりになると思われますが、正確な値はわかりません。

3. 最終的な答え

(1) a = 4, b = -5

(2) -2 ≤ x ≤ 1

(3) 1 < x ≤ 3

(4) a = 0, b = -4

(5) 解答不能

回答が難しい小問（5）が含まれていますが、上記のように考えました。