与えられた式の値を求める問題です。具体的には、以下の5つの問題を解きます。 (1) $x = \sqrt{5}$, $y = -\sqrt{3}$ のとき、$(x+2y)^2 + (x-5y)(x+y)$ の値 (2) $x = \sqrt{2}$, $y = -\sqrt{7}$ のとき、$x(x-y) + y(x+y)$ の値 (3) $x = -3+\sqrt{5}$ のとき、$x^2 + 6x + 9$ の値 (4) $a = \sqrt{6} - 6$ のとき、$a^2 + 3a - 18$ の値 (5) $x = \sqrt{3} + 3$, $y = \sqrt{3} - 3$ のとき、$x^2 + 2xy + y^2$ の値

はい、承知いたしました。問題の解法を以下に示します。

1. 問題の内容

与えられた式の値を求める問題です。具体的には、以下の5つの問題を解きます。

(1) $x = \sqrt{5}$, $y = -\sqrt{3}$ のとき、$(x+2y)^2 + (x-5y)(x+y)$ の値

(2) $x = \sqrt{2}$, $y = -\sqrt{7}$ のとき、$x(x-y) + y(x+y)$ の値

(3) $x = -3+\sqrt{5}$ のとき、$x^2 + 6x + 9$ の値

(4) $a = \sqrt{6} - 6$ のとき、$a^2 + 3a - 18$ の値

(5) $x = \sqrt{3} + 3$, $y = \sqrt{3} - 3$ のとき、$x^2 + 2xy + y^2$ の値

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を示します。

(1) $(x+2y)^2 + (x-5y)(x+y)$ を展開し、整理します。

$(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$

$(x-5y)(x+y) = x^2 + xy - 5xy - 5y^2 = x^2 - 4xy - 5y^2$

よって、

$(x+2y)^2 + (x-5y)(x+y) = x^2 + 4xy + 4y^2 + x^2 - 4xy - 5y^2 = 2x^2 - y^2$

$x = \sqrt{5}$, $y = -\sqrt{3}$ を代入すると、

$2(\sqrt{5})^2 - (-\sqrt{3})^2 = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$

(2) $x(x-y) + y(x+y)$ を展開し、整理します。

$x(x-y) = x^2 - xy$

$y(x+y) = xy + y^2$

よって、

$x(x-y) + y(x+y) = x^2 - xy + xy + y^2 = x^2 + y^2$

$x = \sqrt{2}$, $y = -\sqrt{7}$ を代入すると、

$(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{7})^2 = 2 + 7 = 9$

(3) $x^2 + 6x + 9$ を因数分解します。

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

$x = -3 + \sqrt{5}$ を代入すると、

$(-3 + \sqrt{5} + 3)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

(4) $a^2 + 3a - 18$ を因数分解します。

$a^2 + 3a - 18 = (a+6)(a-3)$

$a = \sqrt{6} - 6$ を代入すると、

$(\sqrt{6} - 6 + 6)(\sqrt{6} - 6 - 3) = (\sqrt{6})(\sqrt{6} - 9) = 6 - 9\sqrt{6}$

(5) $x^2 + 2xy + y^2$ を因数分解します。

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$

$x = \sqrt{3} + 3$, $y = \sqrt{3} - 3$ を代入すると、

$(\sqrt{3} + 3 + \sqrt{3} - 3)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 9

(3) 5

(4) $6 - 9\sqrt{6}$

(5) 12