行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix}$ に対して、$A^2 = O$ となるための条件を求める問題です。ここで、$O$ は零行列を表します。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix}$ に対して、$A^2 = O$ となるための条件を求める問題です。ここで、$O$ は零行列を表します。

2. 解き方の手順

まず、$A^2$ を計算します。

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab \\ ac & bc \end{pmatrix}$

$A^2 = O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ となるためには、以下の条件が必要です。

$a^2 + bc = 0$

$ab = 0$

$ac = 0$

$bc = 0$

$ab = 0$ より、$a=0$ または $b=0$ が成り立ちます。

$ac = 0$ より、$a=0$ または $c=0$ が成り立ちます。

(i) $a=0$ の場合、$a^2+bc = 0$ より、$bc = 0$ が成り立ちます。

よって、$a=0$ かつ $bc=0$ が条件となります。

(ii) $a \neq 0$ の場合、$ab=0$ より $b=0$、$ac=0$ より $c=0$ が成り立ちます。

$a^2+bc=0$ より、$a^2=0$。これは $a=0$ を意味しますが、これは $a \neq 0$ と矛盾します。したがって、この場合はあり得ません。

したがって、条件は、$a=0$ かつ $bc=0$ です。これは、$a=0$ かつ ($b=0$ または $c=0$) を意味します。

3. 最終的な答え

$a = 0$ かつ $bc = 0$

あるいは、$a = 0$ かつ ($b = 0$ または $c = 0$)