この問題は、関数 $y = ax^2$ について、値の変化、変化の割合、変域、および係数 $a$ を求める問題です。具体的には、以下の5つの小問が含まれています。 問1: $a$ の符号による $y$ の値の増減や最大値・最小値について答える。 問2: 変化の割合が与えられた条件を満たす関数を選ぶ。 問3: $x$ の増加に対する変化の割合を求める。 問4: $x$ の変域が与えられたときの $y$ の変域を求める。 問5: $x$ と $y$ の変域が与えられたときの係数 $a$ と $y$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

この問題は、関数 $y = ax^2$ について、値の変化、変化の割合、変域、および係数 $a$ を求める問題です。具体的には、以下の5つの小問が含まれています。

問1: $a$ の符号による $y$ の値の増減や最大値・最小値について答える。

問2: 変化の割合が与えられた条件を満たす関数を選ぶ。

問3: $x$ の増加に対する変化の割合を求める。

問4: $x$ の変域が与えられたときの $y$ の変域を求める。

問5: $x$ と $y$ の変域が与えられたときの係数 $a$ と $y$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

問1:

- $a>0$ のとき、$y=ax^2$ は下に凸のグラフになるので、$x$ の値が増加するとき、$y$ の値は減少(2)から増加(1)に変わり、$x=0$ のとき最小値(4)をとります。

- $a<0$ のとき、$y=ax^2$ は上に凸のグラフになるので、$x$ の値が増加するとき、$y$ の値は増加(1)から減少(2)に変わり、$x=0$ のとき最大値(3)をとります。

問2:

- 変化の割合は $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ で求められます。$x$ が3から5まで増加するので、$x_1 = 3$、$x_2 = 5$ です。

- ① $y = \frac{1}{2}x$: $\frac{\frac{5}{2} - \frac{3}{2}}{5-3} = \frac{1}{2}$

- ② $y = \frac{1}{2}x^2$: $\frac{\frac{25}{2} - \frac{9}{2}}{5-3} = \frac{16/2}{2} = 4$

- ③ $y = 4x$: $\frac{4\cdot 5 - 4\cdot 3}{5-3} = \frac{8}{2} = 4$

- ④ $y = 4x^2$: $\frac{4\cdot 25 - 4\cdot 9}{5-3} = \frac{64}{2} = 32$

変化の割合が4になるのは②と③。

問3: $y = -3x^2$

(1) $x$ が1から3まで増加:

変化の割合 $= \frac{-3(3)^2 - (-3(1)^2)}{3-1} = \frac{-27 + 3}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

(2) $x$ が-2から4まで増加:

変化の割合 $= \frac{-3(4)^2 - (-3(-2)^2)}{4 - (-2)} = \frac{-48 + 12}{6} = \frac{-36}{6} = -6$

問4: $y = -\frac{1}{3}x^2$

(1) $-3 \le x \le -1$:

$x = -3$ のとき $y = -\frac{1}{3}(-3)^2 = -3$

$x = -1$ のとき $y = -\frac{1}{3}(-1)^2 = -\frac{1}{3}$

よって $-3 \le y \le -\frac{1}{3}$

(2) $-2 \le x \le 1$:

$x = -2$ のとき $y = -\frac{1}{3}(-2)^2 = -\frac{4}{3}$

$x = 1$ のとき $y = -\frac{1}{3}(1)^2 = -\frac{1}{3}$

$x = 0$ のとき $y = 0$

よって $-\frac{4}{3} \le y \le 0$

問5: $y = ax^2$, $-1 \le x \le 2$, $-16 \le y \le \text{ソ}$

$x = -1$ のとき $y = a(-1)^2 = a$

$x = 2$ のとき $y = a(2)^2 = 4a$

$x = 0$ のとき $y = 0$

$a < 0$ であるから、$x = 2$ のとき $y$ は最小値 $-16$ をとる。

$4a = -16$ より $a = -4$

このとき、$x = -1$ のとき $y = a = -4$。よって $-16 \le y \le 0$ となるので $\text{ソ}=0$

3. 最終的な答え

問1: ア: 2, イ: 1, ウ: 4, エ: 1, オ: 2, カ: 3

問2: キ: 2, ク: 3

問3: (1) ケ: -12, (2) コ: -6

問4: (1) サ: -3, シ: -1/3, (2) ス: -4/3, セ: 0

問5: ソ: 0, タ: -4