2次関数の決定とグラフの平行移動、グラフの頂点の座標と最大・最小、2次方程式、2次関数の係数とグラフ、グラフとx軸の共有点、2次不等式に関する問題です。

1. 問題の内容

2次関数の決定とグラフの平行移動、グラフの頂点の座標と最大・最小、2次方程式、2次関数の係数とグラフ、グラフとx軸の共有点、2次不等式に関する問題です。

2. 解き方の手順

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1. 2次関数の決定とグラフの平行移動**

放物線 $y = -2x^2$ を平行移動した放物線 C の頂点は直線 $y = 2x - 3$ 上にあり、C は点 $(1, -5)$ を通る。

頂点の座標を $(t, 2t-3)$ とすると、C の方程式は $y = -2(x-t)^2 + 2t - 3$ と表せる。

C は点 $(1, -5)$ を通るので、$-5 = -2(1-t)^2 + 2t - 3$。

これを解くと、$-5 = -2(1 - 2t + t^2) + 2t - 3$ より、$-5 = -2 + 4t - 2t^2 + 2t - 3$。

$2t^2 - 6t = 0$ なので、$2t(t - 3) = 0$。よって $t = 0$ または $t = 3$。

$t = 0$ のとき、C の方程式は $y = -2x^2 - 3$。

$t = 3$ のとき、C の方程式は $y = -2(x-3)^2 + 3 = -2(x^2 - 6x + 9) + 3 = -2x^2 + 12x - 18 + 3 = -2x^2 + 12x - 15$。

したがって、$y = -2x^2 - 3$ または $y = -2x^2 + 12x - 15$。

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2. グラフの頂点の座標と最大・最小**

放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ の頂点の座標は、平方完成することで求める。

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 3 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$

頂点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$。

$0 \le x \le 2$ における最大値は、$x = 0$ のとき $y = 0 - 0 + 3 = 3$。

$x = 2$ のとき $y = 2^2 - 3(2) + 3 = 4 - 6 + 3 = 1$。

よって、最大値は 3、最小値は $\frac{3}{4}$ ($x = \frac{3}{2}$のとき)。しかし、$x$ の範囲が $0 \le x \le 2$ なので、$x=\frac{3}{2}$は範囲内にあり、$y = \frac{3}{4}$。$x = 2$ のとき $y = 1$ なので、最小値は $\frac{3}{4}$ではなく$1$。

最小値はxが$x=2$のときの$y=1$。しかし問題文によると$x=\frac{3}{2}$が範囲内なので、$\frac{3}{4}$が最小値となる。

ここで、$x = 0$と$x=2$の比較をする必要があった。$x=0$の時は$y=3$。$x=2$の時は$y=1$。頂点の$x$座標$\frac{3}{2}$は0~2の間にあるので、$\frac{3}{4}$がこの範囲内での最小値となる。

最大値は$3$。

最小値は$\frac{3}{4}$。

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3. 2次方程式**

2つの2次方程式 $2x^2 + 3x + 1 - k = 0$ と $x^2 - 2kx + k^2 + k - 3 = 0$ がともに実数解を持つような k の値の範囲を求める。

$2x^2 + 3x + 1 - k = 0$ が実数解を持つ条件は、判別式 $D_1 = 3^2 - 4(2)(1-k) \ge 0$ より、$9 - 8 + 8k \ge 0$ なので、$8k \ge -1$、つまり $k \ge -\frac{1}{8}$。

$x^2 - 2kx + k^2 + k - 3 = 0$ が実数解を持つ条件は、判別式 $D_2 = (-2k)^2 - 4(1)(k^2 + k - 3) \ge 0$ より、$4k^2 - 4k^2 - 4k + 12 \ge 0$ なので、$-4k + 12 \ge 0$、つまり $4k \le 12$、よって $k \le 3$。

したがって、$-\frac{1}{8} \le k \le 3$。

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4. 2次関数の係数とグラフ**

右の図の放物線は $y = ax^2 + bx + c$ のグラフである。

グラフより、$a < 0$ (上に凸)、$b > 0$ (軸がy軸より右にあるため)、$c > 0$ (y切片が正)。

また、$b^2 - 4ac > 0$ (x軸と2点で交わる)。

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5. グラフとx軸の共有点**

a を定数とし、2次関数 $y = x^2 - 3x - a + 2$ のグラフを C とする。C が x 軸の正の部分、負の部分のそれぞれと交わるとき、a のとり得る値の範囲を求める。

これは、$f(x) = x^2 - 3x - a + 2$ とすると、$f(0) < 0$ となる条件である。

$f(0) = 0^2 - 3(0) - a + 2 = -a + 2 < 0$ なので、$a > 2$。

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6. 2次不等式**

x の2つの2次不等式 $x^2 - 4x - 3 \le 0$ ...①, $x^2 - ax - 2a^2 \le 0$ ...② がある。ただし、a は正の定数である。

(1) 不等式①の解は、$x^2 - 4x - 3 = 0$ の解を求める。$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(-3)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$。

したがって、$2 - \sqrt{7} \le x \le 2 + \sqrt{7}$。

(2) 不等式①の解がすべて不等式②の解に含まれるような最小の整数 a の値を求める。

$x^2 - ax - 2a^2 \le 0$ より、$(x - 2a)(x + a) \le 0$。したがって、$-a \le x \le 2a$。

$2 - \sqrt{7} \approx 2 - 2.646 = -0.646$。

$2 + \sqrt{7} \approx 2 + 2.646 = 4.646$。

$-a \le 2 - \sqrt{7}$ かつ $2 + \sqrt{7} \le 2a$ が成り立つ必要がある。

$-a \le 2 - \sqrt{7}$ より、$a \ge \sqrt{7} - 2 \approx 0.646$。

$2 + \sqrt{7} \le 2a$ より、$a \ge \frac{2 + \sqrt{7}}{2} \approx \frac{4.646}{2} = 2.323$。

$a \ge 2.323$ を満たす最小の整数は 3。

3. 最終的な答え

1. アイ：-2, ウ：-3, エオ：-2, カキ：12, クケ：-15

2. コサ：3/2, シ：3/4, ソタ：3, チ：3/4

3. ツテ：-1/8, トナ：3

4. ア：<, イ：>, ウ：>, エ：>

5. ハ：2

6. ヒ：2, フ：7, ヘ：3