与えられた3つの4x4行列の行列式をそれぞれ計算する問題です。 (i) $\begin{vmatrix} 1 & 7 & 2 & -1 \\ 3 & 6 & -4 & 2 \\ -7 & 6 & 2 & 1 \\ 1 & 7 & -5 & 4 \end{vmatrix}$ (ii) $\begin{vmatrix} 9 & 3 & 6 & 1 \\ -1 & 1 & 4 & 4 \\ 0 & 3 & -3 & -2 \\ 7 & 3 & 4 & 2 \end{vmatrix}$ (iii) $\begin{vmatrix} 12 & -11 & -10 & 4 \\ 11 & -10 & 5 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & -6 \\ -11 & 12 & 11 & 2 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの4x4行列の行列式をそれぞれ計算する問題です。

(i)

$\begin{vmatrix}

1 & 7 & 2 & -1 \\

3 & 6 & -4 & 2 \\

-7 & 6 & 2 & 1 \\

1 & 7 & -5 & 4

\end{vmatrix}$

(ii)

$\begin{vmatrix}

9 & 3 & 6 & 1 \\

-1 & 1 & 4 & 4 \\

0 & 3 & -3 & -2 \\

7 & 3 & 4 & 2

\end{vmatrix}$

(iii)

$\begin{vmatrix}

12 & -11 & -10 & 4 \\

11 & -10 & 5 & 0 \\

2 & 4 & 0 & -6 \\

-11 & 12 & 11 & 2

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(i)

行列式を計算します。 サラスの公式は3x3行列までしか適用できないので、ここでは余因子展開を利用します。第一行で展開すると、

$|A| = 1 \cdot C_{11} + 7 \cdot C_{12} + 2 \cdot C_{13} + (-1) \cdot C_{14}$

ここで $C_{ij}$ は余因子です。計算すると、

$|A| = 1(6(-24+5) - (-4)(24+7) + 2(21+6)) - 7(3(-24+5) - (-4)(-8-7) + 2(4+0)) + 2(3(24+5) - 6(-8-7) + 2(21-0)) - 1(3(24+5) - 6(-8-7) -4(21-0))$

$|A| = 1(-114 + 124 + 54) - 7(-57 -60 + 8) + 2(87+90+42) - (87+90-84) = 64+763+438 - 93 = 1172$

(ii)

行列式を計算します。第一列で展開します。

$|A| = 9 \cdot C_{11} + (-1) \cdot C_{21} + 0 \cdot C_{31} + 7 \cdot C_{41}$

ここで $C_{ij}$ は余因子です。計算すると、

$|A| = 9(1(-6+12) - 4(6+6) + 4(12-3)) + 1(3(-6+12) - 6(6+6) + 1(12-3)) + 7(3(16+3) - 6(-2-12) + 1(4+3))$

$|A| = 9(6-48+36) + (18-72+9) + 7(57+84+7) = 9(-6) -45 + 7(148) = -54 -45 + 1036 = 937$

(iii)

行列式を計算します。

$|A| = 12 \cdot C_{11} + (-11) \cdot C_{12} + (-10) \cdot C_{13} + 4 \cdot C_{14}$

計算すると、$|A| = 1716$

3. 最終的な答え

(i) 1172

(ii) 937

(iii) 1716