与えられた問題は、多項式の次数、多項式の計算、式の展開に関するものです。具体的には、以下の小問に答える必要があります。 問1：多項式 $x^3 + 4y - 5x^2 - 2$ の、$x$ に着目した次数と $y$ に着目した次数を求める。 問2：$A = 5x^2 + 2x - 6$, $B = x^2 - x - 8$ のとき、$2A - B$ を計算する。 問3：$(-6xy)^2 \times 2xy^2$ を計算する。 問4：次の式を展開する。(1) $(4x + 7y)^2$、(2) $(3x - 8)(2x + 9)$、(3) $(2x + 9)(2x - 9)$、(4) $(x + 5y)(x - 3y)$ 問5：次の式を展開する。(1) $(2a + 3b - c)(2a - 3b + c)$、(2) $(a + 3b - 4c)^2$、(3) $(x + 2)^2(x - 2)^2$、(4) $(x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4)$

1. 問題の内容

与えられた問題は、多項式の次数、多項式の計算、式の展開に関するものです。具体的には、以下の小問に答える必要があります。

問1：多項式 $x^3 + 4y - 5x^2 - 2$ の、$x$ に着目した次数と $y$ に着目した次数を求める。

問2：$A = 5x^2 + 2x - 6$, $B = x^2 - x - 8$ のとき、$2A - B$ を計算する。

問3：$(-6xy)^2 \times 2xy^2$ を計算する。

問4：次の式を展開する。(1) $(4x + 7y)^2$、(2) $(3x - 8)(2x + 9)$、(3) $(2x + 9)(2x - 9)$、(4) $(x + 5y)(x - 3y)$

問5：次の式を展開する。(1) $(2a + 3b - c)(2a - 3b + c)$、(2) $(a + 3b - 4c)^2$、(3) $(x + 2)^2(x - 2)^2$、(4) $(x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4)$

2. 解き方の手順

問1：

- $x$ に着目した場合、$x$ の最高次数は3なので、3次式です。

- $y$ に着目した場合、$y$ の最高次数は1なので、1次式です。

問2：

$2A - B = 2(5x^2 + 2x - 6) - (x^2 - x - 8)$

$= 10x^2 + 4x - 12 - x^2 + x + 8$

$= 9x^2 + 5x - 4$

問3：

$(-6xy)^2 \times 2xy^2 = (36x^2y^2) \times (2xy^2)$

$= 72x^3y^4$

問4：

(1) $(4x + 7y)^2 = (4x)^2 + 2(4x)(7y) + (7y)^2 = 16x^2 + 56xy + 49y^2$

(2) $(3x - 8)(2x + 9) = 6x^2 + 27x - 16x - 72 = 6x^2 + 11x - 72$

(3) $(2x + 9)(2x - 9) = (2x)^2 - 9^2 = 4x^2 - 81$

(4) $(x + 5y)(x - 3y) = x^2 - 3xy + 5xy - 15y^2 = x^2 + 2xy - 15y^2$

問5：

(1) $(2a + 3b - c)(2a - 3b + c) = (2a + (3b - c))(2a - (3b - c)) = (2a)^2 - (3b - c)^2$

$= 4a^2 - (9b^2 - 6bc + c^2) = 4a^2 - 9b^2 + 6bc - c^2$

(2) $(a + 3b - 4c)^2 = (a + 3b - 4c)(a + 3b - 4c)$

$= a^2 + 9b^2 + 16c^2 + 6ab - 8ac - 24bc$

(3) $(x + 2)^2(x - 2)^2 = ((x + 2)(x - 2))^2 = (x^2 - 4)^2 = x^4 - 8x^2 + 16$

(4) $(x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) = (x - 1)(x + 4)(x + 2)(x - 3) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - x - 6)$

$= x^4 - x^3 - 6x^2 + 3x^3 - 3x^2 - 18x - 4x^2 + 4x + 24 = x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x + 24$

3. 最終的な答え

問1：ア：3, イ：1

問2：ウ：$9x^2 + 5x - 4$

問3：エ：$72x^3y^4$

問4：オ：$16x^2 + 56xy + 49y^2$, カ：$6x^2 + 11x - 72$, キ：$4x^2 - 81$, ク：$x^2 + 2xy - 15y^2$

問5：ケ：$4a^2 - 9b^2 + 6bc - c^2$, コ：$a^2 + 9b^2 + 16c^2 + 6ab - 8ac - 24bc$, サ：$x^4 - 8x^2 + 16$, シ：$x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x + 24$