$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の(1)の方程式と(2)の不等式を解く。 (1) $\cos 2x - 5 \cos x + 3 = 0$ (2) $2 \cos 2x - 2(\sqrt{3} - 1) \sin x + \sqrt{3} > 2$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の(1)の方程式と(2)の不等式を解く。

(1) $\cos 2x - 5 \cos x + 3 = 0$

(2) $2 \cos 2x - 2(\sqrt{3} - 1) \sin x + \sqrt{3} > 2$

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ であるから、方程式は次のようになる。

$2 \cos^2 x - 1 - 5 \cos x + 3 = 0$

$2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0$

$(\cos x - 2)(2 \cos x - 1) = 0$

$\cos x = 2$ または $\cos x = \frac{1}{2}$

$-1 \le \cos x \le 1$ より $\cos x = 2$ は解なし。

$\cos x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2)

$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ であるから、不等式は次のようになる。

$2(1 - 2 \sin^2 x) - 2(\sqrt{3} - 1) \sin x + \sqrt{3} > 2$

$2 - 4 \sin^2 x - 2(\sqrt{3} - 1) \sin x + \sqrt{3} - 2 > 0$

$-4 \sin^2 x - 2(\sqrt{3} - 1) \sin x + \sqrt{3} > 0$

$4 \sin^2 x + 2(\sqrt{3} - 1) \sin x - \sqrt{3} < 0$

$(2 \sin x + \sqrt{3})(2 \sin x - 1) < 0$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ において、$\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$0 \le x < 2\pi$ において、$\sin x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

したがって、$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{4\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{4\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$