この試験問題は、確率に関する3つの問題で構成されています。 問題1は、夫婦の投票行動に関する確率の問題です。 問題2は、確率密度関数$f(x)$が与えられたときに、定数$c$の値を求めたり、分布関数や期待値、分散を計算する問題です。 問題3は、離散確率変数の組$(X, Y)$が与えられたときに、周辺確率密度、独立性、期待値、分散、共分散、相関係数を求める問題です。

1. 問題の内容

この試験問題は、確率に関する3つの問題で構成されています。

問題1は、夫婦の投票行動に関する確率の問題です。

問題2は、確率密度関数$f(x)$が与えられたときに、定数$c$の値を求めたり、分布関数や期待値、分散を計算する問題です。

問題3は、離散確率変数の組$(X, Y)$が与えられたときに、周辺確率密度、独立性、期待値、分散、共分散、相関係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

**問題1**

(1) 夫婦がともに投票する確率を求める。

夫が投票する事象をA、妻が投票する事象をBとする。

$P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.7$, $P(B|A) = 0.9$ が与えられている。

求める確率は $P(A \cap B)$ である。

$P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0.9 \cdot 0.4 = 0.36$

(2) 夫が投票するという事象と妻が投票するという事象が独立かどうか判定する。

事象AとBが独立であるとき、$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ が成り立つ。

$P(A) \cdot P(B) = 0.4 \cdot 0.7 = 0.28$

$P(A \cap B) = 0.36$ であるため、$P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ となり、AとBは独立ではない。

(3) 妻が投票したことが分かったとき、夫が投票する確率を求める。

求める確率は $P(A|B)$ である。

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.36}{0.7} = \frac{36}{70} = \frac{18}{35}$

**問題2**

(1) 定数$c$の値を求める。

$f(x)$ が確率密度関数であるためには、$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ が成り立つ必要がある。

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-1}^{1} c(1 - x^4) dx = c \int_{-1}^{1} (1 - x^4) dx = c [x - \frac{x^5}{5}]_{-1}^{1} = c[(1 - \frac{1}{5}) - (-1 - \frac{-1}{5})] = c[(1 - \frac{1}{5}) - (-1 + \frac{1}{5})] = c(1 - \frac{1}{5} + 1 - \frac{1}{5}) = c(2 - \frac{2}{5}) = c \cdot \frac{8}{5}$

$\frac{8}{5}c = 1$ より、$c = \frac{5}{8}$

(2) $X$の分布関数を求める。

分布関数$F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$

$x < -1$ のとき、$F(x) = 0$

$-1 \le x \le 1$ のとき、$F(x) = \int_{-1}^{x} \frac{5}{8}(1 - t^4) dt = \frac{5}{8} [t - \frac{t^5}{5}]_{-1}^{x} = \frac{5}{8} [(x - \frac{x^5}{5}) - (-1 - \frac{-1}{5})] = \frac{5}{8} [x - \frac{x^5}{5} + 1 - \frac{1}{5}] = \frac{5}{8} [x - \frac{x^5}{5} + \frac{4}{5}] = \frac{5}{8} x - \frac{x^5}{8} + \frac{1}{2}$

$x > 1$ のとき、$F(x) = 1$

(3) $X$の期待値と分散を求める。

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{-1}^{1} x \frac{5}{8}(1 - x^4) dx = \frac{5}{8} \int_{-1}^{1} (x - x^5) dx = \frac{5}{8} [\frac{x^2}{2} - \frac{x^6}{6}]_{-1}^{1} = \frac{5}{8} [(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{6})] = 0$

$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_{-1}^{1} x^2 \frac{5}{8}(1 - x^4) dx = \frac{5}{8} \int_{-1}^{1} (x^2 - x^6) dx = \frac{5}{8} [\frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{7}]_{-1}^{1} = \frac{5}{8} [(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) - (-\frac{1}{3} - \frac{-1}{7})] = \frac{5}{8} (\frac{1}{3} - \frac{1}{7} + \frac{1}{3} - \frac{1}{7}) = \frac{5}{8} (\frac{2}{3} - \frac{2}{7}) = \frac{5}{8} \cdot 2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) = \frac{5}{4} (\frac{7-3}{21}) = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{21} = \frac{5}{21}$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{5}{21} - 0^2 = \frac{5}{21}$

**問題3**

(1) $X, Y$それぞれの周辺確率密度を求める。

$P(X=x) = \sum_{y} P(X=x, Y=y)$

$P(Y=y) = \sum_{x} P(X=x, Y=y)$

$P(X=0) = \frac{1}{5} + \frac{3}{25} + \frac{2}{25} = \frac{5+3+2}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$

$P(X=1) = \frac{2}{25} + \frac{1}{25} + \frac{2}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

$P(X=2) = \frac{2}{25} + \frac{3}{25} + \frac{1}{5} = \frac{2+3+5}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$

$P(Y=1) = \frac{1}{5} + \frac{2}{25} + \frac{2}{25} = \frac{5+2+2}{25} = \frac{9}{25}$

$P(Y=2) = \frac{3}{25} + \frac{1}{25} + \frac{3}{25} = \frac{7}{25}$

$P(Y=3) = \frac{2}{25} + \frac{2}{25} + \frac{1}{5} = \frac{2+2+5}{25} = \frac{9}{25}$

(2) $X, Y$は独立か否か判定する。

$X, Y$が独立であるとき、$P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(Y=y)$ が成り立つ。

例えば、$P(X=0, Y=1) = \frac{1}{5}$

$P(X=0) \cdot P(Y=1) = \frac{2}{5} \cdot \frac{9}{25} = \frac{18}{125}$

$\frac{1}{5} \neq \frac{18}{125}$ であるため、$X, Y$ は独立ではない。

(3) $X, Y$それぞれの期待値および分散を求める。

$E[X] = 0 \cdot \frac{2}{5} + 1 \cdot \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{2}{5} = 0 + \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = 1$

$E[Y] = 1 \cdot \frac{9}{25} + 2 \cdot \frac{7}{25} + 3 \cdot \frac{9}{25} = \frac{9 + 14 + 27}{25} = \frac{50}{25} = 2$

$E[X^2] = 0^2 \cdot \frac{2}{5} + 1^2 \cdot \frac{1}{5} + 2^2 \cdot \frac{2}{5} = 0 + \frac{1}{5} + \frac{8}{5} = \frac{9}{5}$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{9}{5} - 1^2 = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$

$E[Y^2] = 1^2 \cdot \frac{9}{25} + 2^2 \cdot \frac{7}{25} + 3^2 \cdot \frac{9}{25} = \frac{9 + 28 + 81}{25} = \frac{118}{25}$

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{118}{25} - 2^2 = \frac{118}{25} - 4 = \frac{118 - 100}{25} = \frac{18}{25}$

(4) $X, Y$の共分散および相関係数を求める。

$E[XY] = \sum_{x} \sum_{y} xy P(X=x, Y=y)$

$E[XY] = 0 \cdot 1 \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 2 \cdot \frac{3}{25} + 0 \cdot 3 \cdot \frac{2}{25} + 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{25} + 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{25} + 1 \cdot 3 \cdot \frac{2}{25} + 2 \cdot 1 \cdot \frac{2}{25} + 2 \cdot 2 \cdot \frac{3}{25} + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{5} = 0 + 0 + 0 + \frac{2}{25} + \frac{2}{25} + \frac{6}{25} + \frac{4}{25} + \frac{12}{25} + \frac{30}{25} = \frac{56}{25}$

$Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{56}{25} - 1 \cdot 2 = \frac{56}{25} - 2 = \frac{56 - 50}{25} = \frac{6}{25}$

$\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{V[X]V[Y]}} = \frac{\frac{6}{25}}{\sqrt{\frac{4}{5} \cdot \frac{18}{25}}} = \frac{\frac{6}{25}}{\sqrt{\frac{72}{125}}} = \frac{\frac{6}{25}}{\frac{\sqrt{72}}{5\sqrt{5}}} = \frac{\frac{6}{25}}{\frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{5}}} = \frac{6}{25} \cdot \frac{5\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

**問題1**

(1) 0.36

(2) 独立ではない

(3) $\frac{18}{35}$

**問題2**

(1) $\frac{5}{8}$

(2)

$F(x) = \begin{cases}

0 & x < -1 \\

\frac{5}{8}x - \frac{x^5}{8} + \frac{1}{2} & -1 \le x \le 1 \\

1 & x > 1

\end{cases}$

(3) $E[X] = 0$, $V[X] = \frac{5}{21}$

**問題3**

(1) $P(X=0) = \frac{2}{5}$, $P(X=1) = \frac{1}{5}$, $P(X=2) = \frac{2}{5}$

$P(Y=1) = \frac{9}{25}$, $P(Y=2) = \frac{7}{25}$, $P(Y=3) = \frac{9}{25}$

(2) 独立ではない

(3) $E[X] = 1$, $V[X] = \frac{4}{5}$, $E[Y] = 2$, $V[Y] = \frac{18}{25}$

(4) $Cov(X, Y) = \frac{6}{25}$, $\rho(X, Y) = \frac{\sqrt{10}}{10}$