1から9までの数字が書かれた9枚のカードから1枚を引き、その数字を記録し、カードを元に戻す操作を $n$ 回繰り返す。 (1) 記録された数の最小値が5となる確率を求めよ。 (2) 記録された数の積が5で割り切れる確率を求めよ。 (3) 記録された数の積が10で割り切れる確率を求めよ。

1. 問題の内容

1から9までの数字が書かれた9枚のカードから1枚を引き、その数字を記録し、カードを元に戻す操作を $n$ 回繰り返す。

(1) 記録された数の最小値が5となる確率を求めよ。

(2) 記録された数の積が5で割り切れる確率を求めよ。

(3) 記録された数の積が10で割り切れる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 記録された数の最小値が5となる確率

記録された数全てが5以上の数である確率から、記録された数全てが6以上の数である確率を引けばよい。

5以上の数は5, 6, 7, 8, 9の5個である。

6以上の数は6, 7, 8, 9の4個である。

よって、求める確率は、

$(\frac{5}{9})^n - (\frac{4}{9})^n$

(2) 記録された数の積が5で割り切れる確率

記録された数の積が5で割り切れるのは、少なくとも1回は5が出たときである。

これは、1回も5が出ない確率を1から引けば求められる。

5が出ない確率は $\frac{8}{9}$ であるから、求める確率は、

$1 - (\frac{8}{9})^n$

(3) 記録された数の積が10で割り切れる確率

記録された数の積が10で割り切れるのは、少なくとも1回は5が出て、少なくとも1回は偶数が出たときである。

これは、全体から「一度も5が出ない場合」と「一度も偶数が出ない場合」を引けばよいが、それだと「一度も5も偶数も出ない場合」を二重に引いてしまうので、最後にこれを足す必要がある。

- 一度も5が出ない確率: $(\frac{8}{9})^n$

- 一度も偶数が出ない確率: 奇数は1, 3, 5, 7, 9の5個なので、$(\frac{5}{9})^n$

- 一度も5も偶数も出ない確率: 奇数かつ5ではない数は1, 3, 7, 9の4個なので、$(\frac{4}{9})^n$

よって、求める確率は、

$1 - (\frac{8}{9})^n - (\frac{5}{9})^n + (\frac{4}{9})^n$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{5}{9})^n - (\frac{4}{9})^n$

(2) $1 - (\frac{8}{9})^n$

(3) $1 - (\frac{8}{9})^n - (\frac{5}{9})^n + (\frac{4}{9})^n$