定積分 $\int_{1}^{3} (x^2+3) \, dx + \int_{1}^{3} (-7x^2-4x) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} (x^2+3) \, dx + \int_{1}^{3} (-7x^2-4x) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、2つの定積分の和を1つの定積分にまとめます。

$\int_{1}^{3} (x^2+3) \, dx + \int_{1}^{3} (-7x^2-4x) \, dx = \int_{1}^{3} (x^2+3 -7x^2 -4x) \, dx$

次に、積分の中身を整理します。

$\int_{1}^{3} (x^2+3 -7x^2 -4x) \, dx = \int_{1}^{3} (-6x^2 -4x +3) \, dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (-6x^2 -4x +3) \, dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = -2x^3 - 2x^2 + 3x + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (-6x^2 -4x +3) \, dx = [-2x^3 - 2x^2 + 3x]_{1}^{3} = (-2(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3)) - (-2(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1))$

$= (-2(27) - 2(9) + 9) - (-2 - 2 + 3) = (-54 - 18 + 9) - (-1) = -63 + 9 + 1 = -54 + 1 = -62$

3. 最終的な答え

-62