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定積分 $\int_{1}^{3} (x^2+3) \, dx + \int_{1}^{3} (-7x^2-4x) \, dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算積分
2025/4/4

1. 問題の内容

定積分 ∫13(x2+3) dx+∫13(−7x2−4x) dx\int_{1}^{3} (x^2+3) \, dx + \int_{1}^{3} (-7x^2-4x) \, dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、2つの定積分の和を1つの定積分にまとめます。
∫13(x2+3) dx+∫13(−7x2−4x) dx=∫13(x2+3−7x2−4x) dx\int_{1}^{3} (x^2+3) \, dx + \int_{1}^{3} (-7x^2-4x) \, dx = \int_{1}^{3} (x^2+3 -7x^2 -4x) \, dx
次に、積分の中身を整理します。
∫13(x2+3−7x2−4x) dx=∫13(−6x2−4x+3) dx\int_{1}^{3} (x^2+3 -7x^2 -4x) \, dx = \int_{1}^{3} (-6x^2 -4x +3) \, dx
次に、不定積分を計算します。
∫(−6x2−4x+3) dx=−6⋅x33−4⋅x22+3x+C=−2x3−2x2+3x+C\int (-6x^2 -4x +3) \, dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = -2x^3 - 2x^2 + 3x + C
最後に、定積分を計算します。
∫13(−6x2−4x+3) dx=[−2x3−2x2+3x]13=(−2(3)3−2(3)2+3(3))−(−2(1)3−2(1)2+3(1))\int_{1}^{3} (-6x^2 -4x +3) \, dx = [-2x^3 - 2x^2 + 3x]_{1}^{3} = (-2(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3)) - (-2(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1))
=(−2(27)−2(9)+9)−(−2−2+3)=(−54−18+9)−(−1)=−63+9+1=−54+1=−62= (-2(27) - 2(9) + 9) - (-2 - 2 + 3) = (-54 - 18 + 9) - (-1) = -63 + 9 + 1 = -54 + 1 = -62

3. 最終的な答え

-62

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