与えられた2次関数 $f(x) = 2x^2 - 5x + a$ について、以下の問いに答えます。 (1) $y = f(x)$ のグラフの軸、および $a$ の値を求めます。ただし、$y = f(x)$ のグラフの頂点が直線 $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ 上にあることがわかっています。 (2) $f(x)$ の定義域が $t - 1 \leq x \leq t + 1$ であるとき、$x = \frac{5}{4}$ で関数 $f(x)$ の値が最小となるような $t$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = 2x^2 - 5x + a$ について、以下の問いに答えます。

(1) $y = f(x)$ のグラフの軸、および $a$ の値を求めます。ただし、$y = f(x)$ のグラフの頂点が直線 $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ 上にあることがわかっています。

(2) $f(x)$ の定義域が $t - 1 \leq x \leq t + 1$ であるとき、$x = \frac{5}{4}$ で関数 $f(x)$ の値が最小となるような $t$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = 2(x^2 - \frac{5}{2}x) + a = 2(x - \frac{5}{4})^2 - 2(\frac{5}{4})^2 + a = 2(x - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8} + a$

よって、頂点の座標は $(\frac{5}{4}, -\frac{25}{8} + a)$ です。

頂点が直線 $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ 上にあるので、

$-\frac{25}{8} + a = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{1}{4}$

$-\frac{25}{8} + a = \frac{5}{8} + \frac{2}{8}$

$a = \frac{32}{8} = 4$

グラフの軸は $x = \frac{5}{4}$ です。

(2)

$f(x)$ は $x = \frac{5}{4}$ で最小値をとる上に凸なグラフであり、定義域が $t - 1 \leq x \leq t + 1$ です。

$x = \frac{5}{4}$ で関数 $f(x)$ の値が最小となるためには、$\frac{5}{4}$ が定義域に含まれており、かつ軸が定義域の中央付近にある必要があります。

つまり、$t - 1 \leq \frac{5}{4} \leq t + 1$ が成り立つ必要があります。

$t - 1 \leq \frac{5}{4}$ より $t \leq \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}$

$\frac{5}{4} \leq t + 1$ より $t \geq \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4}$

したがって、$\frac{1}{4} \leq t \leq \frac{9}{4}$

$x = \frac{5}{4}$ のとき最小値をとる条件は、$t-1 \le \frac{5}{4} \le t+1$ である。

$t-1 \le \frac{5}{4}$ より $t \le \frac{9}{4}$

$\frac{5}{4} \le t+1$ より $t \ge \frac{1}{4}$

よって、$\frac{1}{4} \le t \le \frac{9}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{5}{4}$

イ: $x = \frac{5}{4}$

ウ: $a = 4$

エ: $\frac{1}{4}$

カ: $t$

オ: $\leq$

キ: $\frac{9}{4}$