A, B の 2 つのチームが試合を行い、先に 3 勝したチームを優勝とします。A が勝ったとき、優勝が決定するまでの勝敗の分かれ方は何通りあるか求める問題です。ただし、試合では引き分けはないものとします。

1. 問題の内容

A, B の 2 つのチームが試合を行い、先に 3 勝したチームを優勝とします。A が勝ったとき、優勝が決定するまでの勝敗の分かれ方は何通りあるか求める問題です。ただし、試合では引き分けはないものとします。

2. 解き方の手順

A が優勝する場合について、A が 3 勝目に勝つまでの試合の回数で場合分けします。

* 3 試合目で A が優勝する場合:

AAA の 1 通り。

* 4 試合目で A が優勝する場合:

4 試合目に A が勝つので、3 試合目までに A が 2 勝し、B が 1 勝する必要があります。

3 試合のうち A が 2 勝、B が 1 勝する組み合わせは ${}_3C_2 = 3$ 通りなので、例えば BAA, ABA, AAB の3通りです。4 試合目は必ず A なので、合計 3 通り。

* 5 試合目で A が優勝する場合:

5 試合目に A が勝つので、4 試合目までに A が 2 勝し、B が 2 勝する必要があります。

4 試合のうち A が 2 勝、B が 2 勝する組み合わせは ${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りなので、例えば BBAA, BABA, BAAB, ABBA, ABAB, AABB の6通りです。5 試合目は必ず A なので、合計 6 通り。

したがって、全パターン数は $1 + 3 + 6 = 10$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

10 通り