与えられた3次方程式 $a^3 - 2a^2 + 1 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $a^3 - 2a^2 + 1 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a=1$ がこの方程式の解であるかどうかを確認します。

$a=1$ を代入すると、$1^3 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$ となり、確かに $a=1$ は解であることがわかります。

したがって、$a-1$ は $a^3 - 2a^2 + 1$ の因数です。

多項式除算または組立除法を使って、$a^3 - 2a^2 + 1$ を $a-1$ で割ります。

$a^3 - 2a^2 + 1$ を $a-1$ で割ると、

$a^2 - a - 1$ が得られます。

したがって、$a^3 - 2a^2 + 1 = (a-1)(a^2 - a - 1) = 0$ と因数分解できます。

次に、$a^2 - a - 1 = 0$ を解きます。これは2次方程式なので、解の公式を使用します。

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるものです。

この場合、$a=1$, $b=-1$, $c=-1$ なので、

$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ と $a = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ が解になります。

3. 最終的な答え

与えられた3次方程式 $a^3 - 2a^2 + 1 = 0$ の解は、

$a = 1$, $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $a = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ です。