定積分 $\int_{-1}^{2} (-6x^2 + 6x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (-6x^2 + 6x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$$\int (-6x^2 + 6x) dx = -6 \int x^2 dx + 6 \int x dx$$

$$= -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -2x^3 + 3x^2 + C$$

次に、定積分を計算します。

$$\int_{-1}^{2} (-6x^2 + 6x) dx = [-2x^3 + 3x^2]_{-1}^{2}$$

$$= (-2(2)^3 + 3(2)^2) - (-2(-1)^3 + 3(-1)^2)$$

$$= (-2(8) + 3(4)) - (-2(-1) + 3(1))$$

$$= (-16 + 12) - (2 + 3)$$

$$= -4 - 5 = -9$$

3. 最終的な答え

-9