与えられた4つの2次不等式を解きます。 (1) $(2x+3)(3x-2) < 0$ (2) $6x^2 - 5x - 6 > 0$ (3) $-x^2 + 4x - 1 < 0$ (4) $-3x^2 + x + 1 \ge 0$

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式を解きます。

(1) $(2x+3)(3x-2) < 0$

(2) $6x^2 - 5x - 6 > 0$

(3) $-x^2 + 4x - 1 < 0$

(4) $-3x^2 + x + 1 \ge 0$

2. 解き方の手順

(1) $(2x+3)(3x-2) < 0$

まず、$2x+3 = 0$ と $3x-2 = 0$ を解きます。

$2x+3 = 0$ より $x = -\frac{3}{2}$

$3x-2 = 0$ より $x = \frac{2}{3}$

$x = -\frac{3}{2}$ と $x = \frac{2}{3}$ を数直線上に書き込みます。不等号が $<$ であるので、 $-\frac{3}{2} < x < \frac{2}{3}$ が解となります。

(2) $6x^2 - 5x - 6 > 0$

2次式を因数分解します。

$6x^2 - 5x - 6 = (2x-3)(3x+2)$

$(2x-3)(3x+2) > 0$ を解きます。

$2x-3 = 0$ より $x = \frac{3}{2}$

$3x+2 = 0$ より $x = -\frac{2}{3}$

$x = -\frac{2}{3}$ と $x = \frac{3}{2}$ を数直線上に書き込みます。不等号が $>$ であるので、$x < -\frac{2}{3}$ または $x > \frac{3}{2}$ が解となります。

(3) $-x^2 + 4x - 1 < 0$

まず、両辺に-1をかけて不等号の向きを変えます。

$x^2 - 4x + 1 > 0$

次に、$x^2 - 4x + 1 = 0$ を解の公式を使って解きます。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

$x = 2 - \sqrt{3}$ と $x = 2 + \sqrt{3}$ を数直線上に書き込みます。不等号が $>$ であるので、$x < 2 - \sqrt{3}$ または $x > 2 + \sqrt{3}$ が解となります。

(4) $-3x^2 + x + 1 \ge 0$

まず、両辺に-1をかけて不等号の向きを変えます。

$3x^2 - x - 1 \le 0$

次に、$3x^2 - x - 1 = 0$ を解の公式を使って解きます。

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{6}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

$x = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ と $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ を数直線上に書き込みます。不等号が $\le$ であるので、$\frac{1 - \sqrt{13}}{6} \le x \le \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2} < x < \frac{2}{3}$

(2) $x < -\frac{2}{3}$ または $x > \frac{3}{2}$

(3) $x < 2 - \sqrt{3}$ または $x > 2 + \sqrt{3}$

(4) $\frac{1 - \sqrt{13}}{6} \le x \le \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$