与えられた条件 $F'(x) = -9x^2 + 4x - 1$ および $F(1) = 5$ を満たす関数 $F(x)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件 $F'(x) = -9x^2 + 4x - 1$ および $F(1) = 5$ を満たす関数 $F(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求める。

$$F(x) = \int F'(x) dx = \int (-9x^2 + 4x - 1) dx$$

$$F(x) = -9 \int x^2 dx + 4 \int x dx - \int 1 dx$$

$$F(x) = -9 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C$$

$$F(x) = -3x^3 + 2x^2 - x + C$$

ここで、$C$ は積分定数である。

次に、条件 $F(1) = 5$ を用いて $C$ の値を決定する。

$$F(1) = -3(1)^3 + 2(1)^2 - 1 + C = 5$$

$$-3 + 2 - 1 + C = 5$$

$$-2 + C = 5$$

$$C = 7$$

したがって、$F(x)$ は

$$F(x) = -3x^3 + 2x^2 - x + 7$$

3. 最終的な答え

$F(x) = -3x^3 + 2x^2 - x + 7$