$0 \le x \le 2\pi$ において、2曲線 $y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ において、2曲線 $y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2つの曲線の交点を求めます。

$\sin x = \cos x$ より、$\tan x = 1$ となります。

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲でこれを満たす $x$ は、$x = \frac{\pi}{4}$ と $x = \frac{5\pi}{4}$ です。

(2) 面積を計算します。

$0 \le x \le 2\pi$ において、$y = \sin x$ と $y = \cos x$ の大小関係は、区間によって異なります。

$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ では $\sin x \ge \cos x$ であり、

$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ および $\frac{5\pi}{4} \le x \le 2\pi$ では $\cos x \ge \sin x$ です。

したがって、求める面積 $S$ は、次の積分で与えられます。

$S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi} (\cos x - \sin x) dx$

(3) 各積分を計算します。

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} = (-\cos \frac{5\pi}{4} - \sin \frac{5\pi}{4}) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = (-(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$\int_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi} = (\sin 2\pi + \cos 2\pi) - (\sin \frac{5\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{4}) = (0 + 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - (-\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}$

(4) 面積 $S$ を計算します。

$S = (\sqrt{2} - 1) + 2\sqrt{2} + (1 + \sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{2}$