曲線 $C: \begin{cases} x = 3\cos t \\ y = 2\sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $C: \begin{cases} x = 3\cos t \\ y = 2\sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

面積 $S$ は、積分を用いて計算できます。

$x$ と $t$ の関係から、$dx = -3\sin t \, dt$ となります。

$y$ は $\sin t$ で表されているので、$S = \int y \, dx$ を $t$ に関する積分に書き換えます。

$t$ の範囲は $0 \le t \le \pi$ です。$x$ が正の方向から負の方向へ動くので、積分の符号は正です。

$x=3\cos t$ より、$t=0$ のとき $x=3$、$t=\pi$ のとき $x=-3$ です。

したがって、面積 $S$ は次のように計算できます。

$S = \int_3^{-3} y \, dx = \int_0^{\pi} (2\sin t) (-3\sin t) \, dt = -6 \int_0^{\pi} \sin^2 t \, dt$

$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ であるから、

$S = -6 \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} \, dt = -3 \int_0^{\pi} (1 - \cos 2t) \, dt = -3 \left[ t - \frac{1}{2} \sin 2t \right]_0^{\pi}$

$S = -3 \left[ (\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0) \right] = -3 (\pi - 0 - 0 + 0) = -3\pi$

面積は正の値なので、絶対値をとって $S = |-3\pi| = 3\pi$

しかし，$dx=-3\sin t dt$ であるから，$x:3\to -3$に対応する$t$の範囲は$0\to \pi$であり，$y>0$であるから面積は正であり，面積は

$S = \int_3^{-3} y \, dx = \int_0^{\pi} 2 \sin t \cdot (-3 \sin t) \, dt = -6 \int_0^{\pi} \sin^2 t \, dt = -6 \int_0^{\pi} \frac{1-\cos 2t}{2} \, dt = -3 \int_0^{\pi} (1 - \cos 2t) \, dt$

$= -3 [t - \frac{1}{2} \sin 2t]_0^{\pi} = -3 [\pi - 0 - (0 - 0)] = -3\pi$

ただし，$x$の積分区間が $3$ から $-3$ なので，符号を反転して，

$S = 3\pi$.

3. 最終的な答え

$3\pi$