曲線 $y = e^{x^2}$ と直線 $y=2$, $y$軸に囲まれた部分を$y$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = e^{x^2}$ と直線 $y=2$, $y$軸に囲まれた部分を$y$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y$軸まわりの回転体の体積なので、$x$を$y$の関数として表す必要があります。

$y = e^{x^2}$ より、$x^2 = \ln y$ となります。したがって、$x = \sqrt{\ln y}$ です。

$y$軸、$y=2$、$y=e^{x^2}$ に囲まれた部分なので、積分範囲は、$1 \le y \le 2$ です。

$y$軸のまわりの回転体の体積 $V$ は、

$V = \pi \int_{1}^{2} x^2 dy = \pi \int_{1}^{2} \ln y \, dy$

と表されます。

$\int \ln y \, dy$ は部分積分で計算します。

$u = \ln y$, $dv = dy$ とおくと、$du = \frac{1}{y} dy$, $v = y$ となるので、

$\int \ln y \, dy = y \ln y - \int y \cdot \frac{1}{y} dy = y \ln y - \int dy = y \ln y - y + C$

となります。

したがって、

$V = \pi \int_{1}^{2} \ln y \, dy = \pi [y \ln y - y]_{1}^{2} = \pi [(2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1)] = \pi (2 \ln 2 - 2 - 0 + 1) = \pi (2 \ln 2 - 1)$

となります。

3. 最終的な答え

$\pi (2 \ln 2 - 1)$