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与えられた導関数 $F'(x) = 3x^2 - 4x$ と条件 $F(2) = 3$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分導関数不定積分積分定数初期条件
2025/4/4

1. 問題の内容

与えられた導関数 F′(x)=3x2−4xF'(x) = 3x^2 - 4x と条件 F(2)=3F(2) = 3 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x)=∫F′(x)dx=∫(3x2−4x)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (3x^2 - 4x) dx
F(x)=x3−2x2+CF(x) = x^3 - 2x^2 + C （CC は積分定数）
次に、与えられた条件 F(2)=3F(2) = 3 を用いて積分定数 CC を決定します。
F(2)=23−2(22)+C=8−8+C=CF(2) = 2^3 - 2(2^2) + C = 8 - 8 + C = C
したがって、C=3C = 3 となります。

3. 最終的な答え

F(x)=x3−2x2+3F(x) = x^3 - 2x^2 + 3

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