定積熱容量 $C_v$ の物体を、体積一定のまま温度 $T_1$ から $T_2$ までゆっくりと変化させたときのエントロピーの変化量を求める問題です。ただし、$T_2 > T_1$ とします。選択肢の中から正しい答えを選びます。

1. 問題の内容

定積熱容量 $C_v$ の物体を、体積一定のまま温度 $T_1$ から $T_2$ までゆっくりと変化させたときのエントロピーの変化量を求める問題です。ただし、$T_2 > T_1$ とします。選択肢の中から正しい答えを選びます。

2. 解き方の手順

体積一定の過程におけるエントロピー変化は、以下の式で表されます。

$dS = \frac{dQ}{T}$

ここで、$dQ$ は微小な熱量、$T$ は絶対温度、$dS$ は微小なエントロピー変化です。

定積過程における熱量変化は、定積熱容量を用いて $dQ = C_v dT$ と表されます。したがって、

$dS = \frac{C_v dT}{T}$

エントロピー変化を求めるには、これを $T_1$ から $T_2$ まで積分します。

$\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{C_v dT}{T} = C_v \int_{T_1}^{T_2} \frac{dT}{T}$

$C_v$ は定数なので積分の外に出せます。積分の結果は以下のようになります。

$\Delta S = C_v [\ln T]_{T_1}^{T_2} = C_v (\ln T_2 - \ln T_1)$

対数の性質より、$\ln T_2 - \ln T_1 = \ln \frac{T_2}{T_1}$ となります。したがって、エントロピー変化は

$\Delta S = C_v \ln \frac{T_2}{T_1}$

3. 最終的な答え

選択肢Cが正しいです。

C: $C_v \ln \frac{T_2}{T_1}$