ギターなどの弦楽器における十二平均律音階に関する問題です。 隣り合う音の弦の長さの比を $x$ とし、$x$ の値を求めたり、それを用いて弦の長さを計算したりします。

1. 問題の内容

ギターなどの弦楽器における十二平均律音階に関する問題です。

隣り合う音の弦の長さの比を $x$ とし、$x$ の値を求めたり、それを用いて弦の長さを計算したりします。

2. 解き方の手順

(1) アについて

高い音の方が振動数は大きくなるので、弦の長さは短くなります。

よって、弦の長さの比 $x$ は1より大きくなります。

(2) イについて

1オクターブ高い音は振動数が2倍になるので、弦の長さは半分になります。

よって、ある音が鳴る弦の長さは、その1オクターブ下の音が鳴る弦の長さの 1/2 倍です。

(3) 方程式①について

$x^{12} = \frac{1}{2}$ が成り立つので、

$x = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{12}} = 2^{-\frac{1}{12}}$

(4) ウについて

$x^{12} = \frac{1}{2}$ より、両辺の常用対数をとると、

$12 \log_{10} x = \log_{10} \frac{1}{2} = -\log_{10} 2 = -0.3010$

$\log_{10} x = \frac{-0.3010}{12} = -0.0250833... \approx -0.0251$

(5) エについて

$\log_{10} x \approx -0.0251$

$x \approx 10^{-0.0251}$

ここで、 $x = 10^{-0.0251}$ の近似値を求めます。

$log_{10} 9.44=0.9750$ より、

$log_{10} (10 \div 9.44) = log_{10} 10 - log_{10} 9.44 = 1 - 0.9750 = 0.0250$

$x \approx \frac{1}{10^{0.0250}} = \frac{1}{\frac{10}{9.44}} = \frac{9.44}{10} = 0.944$

したがって、$x \approx 1/0.944 = 1.0593... \approx 1.059$

(6) オについて

ある高さのシの音が鳴る弦の長さが500mmのとき、それより1音高いドの音が鳴る弦の長さは、$500/x$ で求められます。

$500/1.059 = 472.1435 \approx 472.1$

3. 最終的な答え

(1) ア：(b) $x$ は1より大きい

(2) イ：$\frac{1}{2}$

(3) $x = 2^{-\frac{1}{12}}$

(4) ウ：-0.0251

　　エ：1.059

　　オ：472.1