問題は、ベクトル場、位置ベクトル、電荷密度に関する3つの問題から構成されています。 * 問題1は、与えられたベクトル場 $\mathbf{A} = k\frac{\mathbf{r}}{r^3}$ について、その様子を図示し、球面上での積分を計算する問題です。 * 問題2は、位置ベクトル $\mathbf{r}$ について、閉曲面上の積分を計算し、ある等式が成り立つことを示す問題です。 * 問題3は、電荷密度 $\rho$ とベクトル場 $\mathbf{D}$ の関係 $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$ が与えられたとき、立方体および球に含まれる総電荷 $Q$ を求める問題です。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題は、ベクトル場、位置ベクトル、電荷密度に関する3つの問題から構成されています。

* 問題1は、与えられたベクトル場 $\mathbf{A} = k\frac{\mathbf{r}}{r^3}$ について、その様子を図示し、球面上での積分を計算する問題です。

* 問題2は、位置ベクトル $\mathbf{r}$ について、閉曲面上の積分を計算し、ある等式が成り立つことを示す問題です。

* 問題3は、電荷密度 $\rho$ とベクトル場 $\mathbf{D}$ の関係 $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$ が与えられたとき、立方体および球に含まれる総電荷 $Q$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

**問題1**

(1) ベクトル場 $\mathbf{A} = k\frac{\mathbf{r}}{r^3}$ の様子を図示するには、原点から放射状に広がるベクトルを描きます。ベクトルの大きさは原点からの距離 $r$ の3乗に反比例するため、原点に近いほど大きくなります。

(2) 半径 $a$ の球面を考えます。球面の法線ベクトルは $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{r}$ で与えられます。したがって、$d\mathbf{S} = \mathbf{n} dS = \frac{\mathbf{r}}{r} dS$ です。$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ は、

$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = k\frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \frac{\mathbf{r}}{r} dS = k\frac{r^2}{r^4} dS = \frac{k}{r^2} dS$

球面上で $r=a$ なので、

$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \frac{k}{a^2} dS$

(3) 球面 $S$ 上で $\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \frac{k}{a^2} dS$ であり、$a$ は定数なので、積分は

$\int_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \int_S \frac{k}{a^2} dS = \frac{k}{a^2} \int_S dS = \frac{k}{a^2} (4\pi a^2) = 4\pi k$

**問題2**

(1) 閉曲面 $S$ で囲まれた領域の体積を $V$ とするとき、ガウスの発散定理より、

$\int_S \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S} = \int_V (\nabla \cdot \mathbf{r}) dV$

$\mathbf{r} = (x, y, z)$ なので、$\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3$

したがって、

$\int_S \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S} = \int_V 3 dV = 3 \int_V dV = 3V$

(2) 閉曲面 $S$ で囲まれた領域を $V$ とするとき、ガウスの発散定理より、

$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^2} \cdot d\mathbf{S} = \int_V \nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r^2}\right) dV$

$\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r^2}\right) = \frac{1}{r^2}$ を示す必要があります。

$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^2} \cdot d\mathbf{S} = \int_V \frac{1}{r^2} dV$

**問題3**

(1) $\mathbf{D} = (8 + x^3y^2, -y^2, -z^2)$ のとき、$-1 \le x, y, z \le 1$ の立方体に含まれる総電荷 $Q$ を求めます。

$\rho = \nabla \cdot \mathbf{D} = \frac{\partial}{\partial x}(8 + x^3y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-z^2) = 3x^2y^2 - 2y - 2z$

総電荷 $Q$ は、

$Q = \int_V \rho dV = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 (3x^2y^2 - 2y - 2z) dx dy dz$

$Q = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 [x^3y^2 - 2xy - 2xz]_{-1}^1 dy dz = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 (2y^2 - 4y - 4z) dy dz$

$Q = \int_{-1}^1 [\frac{2}{3}y^3 - 2y^2 - 4yz]_{-1}^1 dz = \int_{-1}^1 (\frac{4}{3} - 8z) dz = [\frac{4}{3}z - 4z^2]_{-1}^1 = \frac{8}{3}$

(2) $\mathbf{D} = k(x, y, z)$ (k: 定数)のとき、半径 $a$ の球内に含まれる総電荷 $Q$ を求めます。

$\rho = \nabla \cdot \mathbf{D} = k \left(\frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z}\right) = k(1 + 1 + 1) = 3k$

総電荷 $Q$ は、

$Q = \int_V \rho dV = \int_V 3k dV = 3k \int_V dV = 3k \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 = 4\pi k a^3$

3. 最終的な答え

**問題1**

(3) $\int_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi k$

**問題2**

(1) $\int_S \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S} = 3V$

(2) $\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^2} \cdot d\mathbf{S} = \int_V \frac{1}{r^2} dV$

**問題3**

(1) $Q = \frac{8}{3}$

(2) $Q = 4\pi k a^3$