与えられた電束密度 $\mathbf{D} = (8 + x^3y^2)\mathbf{i} - y^2\mathbf{j} - z^2\mathbf{k}$ に対して、以下の値を求めます。 (1) 発散 $\nabla \cdot \mathbf{D}$ (2) $-1 < x, y, z < 1$ の立方体に含まれる総電荷 $Q$。ただし、$\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E}$ および $\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ の関係式を利用します（$\epsilon_0$ は真空の誘電率、$\rho$ は電荷密度）。

1. 問題の内容

与えられた電束密度 $\mathbf{D} = (8 + x^3y^2)\mathbf{i} - y^2\mathbf{j} - z^2\mathbf{k}$ に対して、以下の値を求めます。

(1) 発散 $\nabla \cdot \mathbf{D}$

(2) $-1 < x, y, z < 1$ の立方体に含まれる総電荷 $Q$。ただし、$\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E}$ および $\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ の関係式を利用します（$\epsilon_0$ は真空の誘電率、$\rho$ は電荷密度）。

2. 解き方の手順

(1) $\nabla \cdot \mathbf{D}$ を計算します。

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \frac{\partial}{\partial x}(8 + x^3y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-z^2)$

偏微分を計算すると、以下のようになります。

$\frac{\partial}{\partial x}(8 + x^3y^2) = 3x^2y^2$

$\frac{\partial}{\partial y}(-y^2) = -2y$

$\frac{\partial}{\partial z}(-z^2) = -2z$

したがって、

$\nabla \cdot \mathbf{D} = 3x^2y^2 - 2y - 2z$

(2) $-1 < x, y, z < 1$ の立方体に含まれる総電荷 $Q$ を計算します。

与えられた関係式 $\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ と $\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E}$ より、$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$ が成り立ちます。

したがって、$\rho = 3x^2y^2 - 2y - 2z$ です。

総電荷 $Q$ は、電荷密度 $\rho$ を体積積分することで得られます。

$Q = \iiint_V \rho \, dV = \iiint_V (3x^2y^2 - 2y - 2z) \, dx \, dy \, dz$

積分範囲は $-1 < x < 1$, $-1 < y < 1$, $-1 < z < 1$ です。

$Q = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} (3x^2y^2 - 2y - 2z) \, dx \, dy \, dz$

まず、$x$ について積分します。

$\int_{-1}^{1} (3x^2y^2 - 2y - 2z) \, dx = [x^3y^2 - 2xy - 2xz]_{-1}^{1} = (y^2 - 2y - 2z) - (-y^2 + 2y + 2z) = 2y^2 - 4y - 4z$

次に、$y$ について積分します。

$\int_{-1}^{1} (2y^2 - 4y - 4z) \, dy = [\frac{2}{3}y^3 - 2y^2 - 4yz]_{-1}^{1} = (\frac{2}{3} - 2 - 4z) - (-\frac{2}{3} - 2 + 4z) = \frac{4}{3} - 8z$

最後に、$z$ について積分します。

$\int_{-1}^{1} (\frac{4}{3} - 8z) \, dz = [\frac{4}{3}z - 4z^2]_{-1}^{1} = (\frac{4}{3} - 4) - (-\frac{4}{3} - 4) = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla \cdot \mathbf{D} = 3x^2y^2 - 2y - 2z$

(2) $Q = \frac{8}{3}$